Dubbio sugli o-piccolo

[Drugotulo90]

Ragazzi un dubbio veloce veloce: se mi ritrovo con $ (f(x)+ o(x^n))/(f(x)+o(x^n)) $ cosa faccio? vogli dire li semplifico gli o-piccolo e diventano 1? oppure tendono a zero? potete spiegarmi anche il motivo? grazie a tutti*per f(x) intendo un risultato qualsiasi in seguito agli sviluppi

[Meander]

Quando tu sviluppi con le serie di maclaurin una funzione, ottieni un polinomio di grado n più o(x^n). Poichè tutti i termini del polinomio (eccetto al più il termine noto) sono infinitesimi, sai che puoi trascurare quelli di ordine superiore. Dunque difatto quando tu ottieni alla fine f(x)+o(x^n) dove p(x) non è altro che un polinomio di grado n, puoi eliminare o(x^n) in quanto è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad x^n.

[Drugotulo90]

Eh ma allora se l'o-piccolo al numeratore si elimina conla f(x) del den., (Almeno credo di aver capito che tu intendessi questo) quello del denominatore come si elimina?

[dissonance]

"Meander":Quando tu sviluppi con le serie di maclaurin una funzione, ottieni un polinomio di grado n più o(x^n). Poichè tutti i termini del polinomio (eccetto al più il termine noto) sono infinitesimi, sai che puoi trascurare quelli di ordine superiore. Dunque difatto quando tu ottieni alla fine f(x)+o(x^n) dove p(x) non è altro che un polinomio di grado n, puoi eliminare o(x^n) in quanto è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad x^n.

Ma questo non c'entra con la domanda posta da Drugotulo. Infatti la risposta alla sua domanda è: boh? Non ci sono informazioni sufficienti per rispondere: dipende tutto da $f(x)$. [NOTA BENE: Sto assumendo che $x\to 0$]. Se $f(x)$ è un infinitesimo di ordine inferiore ad $n$, allora nel rapporto $\frac{f(x)+o(x^n)}{f(x)+o(x^n)}$ si possono eliminare gli o-piccolo riscrivendo

$frac{f(x)}{f(x)}[frac{1+frac{o(x^n)}{f(x)}}{1+frac{o(x^n)}{f(x)}}]$ per ogni $x$ in un intorno di $0$,

e siccome per ipotesi $frac{o(x^n)}{f(x)}\to0$ allora il tutto tende a $1$.

Ma senza questa ipotesi non è detto che sia vero. Ad esempio prendi $n=1$ e $f(x)=x^2$. Allora

$frac{x^2+x^2}{x^2+x^3}=frac{f(x)+o(x^n)}{f(x)+o(x^n)}$

ma per $x\to0$ tende a $2$.