Dubbio su una serie

[Summerwind78]

Ciao a tutti

ho la seguente serie

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }{ n }[/tex]
di cui devo studiare la convergenza

ho provato con il criterio del rapporto, ma il limite mi viene pari ad 1 e non mi serve a nulla ovviamente.
allora ho pensato di scomporre la serie nella somma di due serie

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }{ n } = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \sqrt{n+1} }{ n } - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \sqrt{n} }{ n }[/tex]

prendo per ora in considerazione solo il secondo termine

ho per ogni n maggiore o uguale a 1 anche la sua radice è maggiore o uguale a 1
quindi
[tex]\frac{ \sqrt{n} }{ n } \geq \frac{1}{n}[/tex]

dove entrambi i termini sono sempre positivi

so che $\frac{1}{n}$ diverge in quanto è una serie armonica generalizzata con esponente pari a 1, per il criterio del confronto allora diverge anche [tex]\frac{ \sqrt{n} }{ n }[/tex]

la somma di due serie di cui una divergente dovrebbe essere a sua volta divergente se non erro, ma il testo dice che la serie di partenza è convergente

dove sbaglio?

[Principe2]

sbagli nel fatto che quella non e' una somma di due serie, ma una differenza di due serie, entrambi divergenti, quindi... forma indeterminata.

Questi esercizi sono tutti uguali: moltiplicare e dividere per il coniugato del numeratore.

[Summerwind78]

ho provato anche con quella tecnica, ma non è uscito nulla di sano purtroppo

[Lorin1]

Parti dall'inizio e prova a moltiplicare e dividere l'argomento della serie per $sqrt(n+1)+sqrt(n)$, ottieni la serie
$sum_(n=1)^(+oo) 1/n(1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)))<= 1/2sum_(n=1)^(+oo) 1/(nsqrt(n))<+oo$

[Principe2]

appunto.. probabilmente avevi solo sbagliato i calcoli

@lorin> in generale e' opportuno non postare la soluzione completa, sia per lasciare l'esercizio allo studente, sia per risparmiare tempo.

[Lorin1]

si si di solito non la posto mai...ma avevo letto l'ultimo commento e alla fine ho postato qualcosina...pardon!

[Summerwind78]

@ ubermensch: grazie per lo "studente" ma quella fase lo passata da un pezzo... per ora solo appassionato
p.s.; nick in tedesco?


@lorin: grazie per l'aiuto!!! come mai però ti spunta quell' $1/2$ davanti alla serie?

[Lorin1]

prova a pensare alla somma $sqrt(n+1)+sqrt(n)$ come la puoi approssimare?

[Summerwind78]

Capito il ragionamento, ma è necessario?

intendo dire...
[tex]n\sqrt{n} \leq n(\sqrt{n} + \sqrt{n+1} )[/tex] visto che moltiplico per una termine maggiore quindi [tex]\frac{1}{n\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}[/tex]

dico bene?

[Lorin1]

sostanzialmente ho ragionato sul fatto che $sqrt(n+1)+sqrt(n)>=2sqrt(n) => 1/(sqrt(n+1)+sqrt(n))<=1/(2sqrt(n))$

[Summerwind78]

quello è chiaro

secondo te il mio ragionamento è corretto?

[Lorin1]

si ma infatti non cambia nulla...l'importante è che hai maggiorato in modo giusto...alla fine comunque ti esce una serie convergente