Dubbio su Taylor

[Brancaleone1]

Ciao a tutti

Devo controllare il $\lim_(t \to 0) {\arctan t -t-t \root{3}{t}}/{\pi - 2 \arcsin (1/(1+t^2))}$ verificando gli ordini, perciò devo usare Taylor.

Per il numeratore non ho problemi: poiché

$\arctan t = t -t^3/3+o(t^3)$

posso affermare che il numeratore tende a $0$ con ordine $4/3$, però non so come comportarmi al denominatore.

$2 \arcsin (1/(1+t^2))$ non è infinitesimo per $t \to 0$, ma $\pi - 2 \arcsin (1/(1+t^2))$ sì.

Vuol dire che devo sviluppare tutto il denominatore insieme? Cioè $T_(t_0=0)(\pi - 2 \arcsin (1/(1+t^2)))$ ?

[Raptorista1]

A te non interessa che una funzione sia infinitesima in un punto per poterla sviluppare in serie di Taylor in quel punto; ad esempio, puoi sviluppare l'esponenziale \(e^x\) in \(x = 0\) nonostante \(e^0 = 1\).

Sviluppa direttamente l'arcseno, poi sostituisci lo sviluppo e vedi che cosa si cancella; infine ti preoccupi del grado di infinitesimo del denominatore.

[Brancaleone1]

Provo:

$T_(t_0=0) [\arcsin (1/(1+t^2))]= \arcsin (1) \pm 2t + o(1/(1+t^2))=\pi/2 \pm 2t + o(1/(1+t^2))$

$\Rightarrow \lim_(t \to 0) {\arctan t -t-t \root{3}{t}}/{\pi - 2 \arcsin (1/(1+t^2))}= \lim_(t \to 0) {t-t^3/3 -t-t \root{3}{t}}/{\pi - 2(\pi/2 \pm 2t)}=\lim_(t \to 0) {-t^3/3 -t \root{3}{t}}/{\pi - \pi \pm 4t}=$

$=\lim_(t \to 0) {-t^3/3 -t \root{3}{t}}/{\pm 4t}=(0 [\text(di ordine) 4/3])/(0 [\text(di ordine) 1])=0 [\text(di ordine) 4/3-1=1/3]$

[Raptorista1]

Ad occhio mi sembra che quadri, però è passata mezzanotte e quindi non garantisco per quello che scrivo

[Brancaleone1]

Ok grazie per la dritta