Dubbio su risoluzione esercizio serie
Ciao a tutti, vi propongo il seguente esercizio:
$\sum_[n=1]^[infty] 1/n^2*sen^2(1/n)$
le vie da seguire per risolverlo (che conosco) sono 2, e sono queste:
1) dai limiti notevoli ho che, per $n->0$, $sen(x)/x=1$. In questo caso, essendo $n->infty$, $1/n->0$ quindi ho che $sen^2(1/n) \sim 1/n^2$, da cui segue che la serie iniziale si comporta come la seguente:
$\sum_[n=1]^[infty]1/n^4$ che converge essendo serie armonica generalizzata con esponente $\alpha>1$.
2) studio i valori assunti da $sin^2(1/n)$ nell'intervallo $[1,infty[$:
ho che $ 0<=sin^2(1/n)<=1$, segue che $0*1/n^2 <= 1/n^2*sin^2(1/n) <= 1*1/n^2$. quindi la serie di partenza è maggiorata dalla seguente serie:
$\sum_[n=1]^[infty]1/n^2$ che converge in quanto serie armonica generalizzata con esponente $alpha>1$.
Detto questo, i due risultati giustamente coincidono, però mi è venuto un dubbio alla fine di questo esercizio.. se la serie di partenza fosse stata:
$\sum_[n=1]^[infty]1/n*sin^2(1/n)$ (l'unica differenza con la precedente serie è nell'esponente del primo infinitesimo)
il primo metodo di risoluzione mi avrebbe portato a dire che $sen^2(1/n) \sim 1/n^2$, e che quindi la serie si sarebbe comportata come $\sum_[n=1]^[infty]1/n*1/n^2$ e sarebbe risultata convergente, mentre il secondo metodo mi avrebbe portato a dire che $\sum_[n=1]^[infty]1/n*sin^2(1/n)$ è maggiorata dalla serie $\sum_[n=1]^[infty]1/n$ che corrisponde alla serie armonica generalizzata ad esponente $\alpha=1$, che di conseguenza diverge.. I due risultati quindi non coincidono!
Sapreste aiutarmi? Ho forse fatto qualche errore nei calcoli o nei metodi utilizzati? Mi sono dimenticato di considerare qualcosa?
Grazie per l'aiuto in anticipo, ciao!
$\sum_[n=1]^[infty] 1/n^2*sen^2(1/n)$
le vie da seguire per risolverlo (che conosco) sono 2, e sono queste:
1) dai limiti notevoli ho che, per $n->0$, $sen(x)/x=1$. In questo caso, essendo $n->infty$, $1/n->0$ quindi ho che $sen^2(1/n) \sim 1/n^2$, da cui segue che la serie iniziale si comporta come la seguente:
$\sum_[n=1]^[infty]1/n^4$ che converge essendo serie armonica generalizzata con esponente $\alpha>1$.
2) studio i valori assunti da $sin^2(1/n)$ nell'intervallo $[1,infty[$:
ho che $ 0<=sin^2(1/n)<=1$, segue che $0*1/n^2 <= 1/n^2*sin^2(1/n) <= 1*1/n^2$. quindi la serie di partenza è maggiorata dalla seguente serie:
$\sum_[n=1]^[infty]1/n^2$ che converge in quanto serie armonica generalizzata con esponente $alpha>1$.
Detto questo, i due risultati giustamente coincidono, però mi è venuto un dubbio alla fine di questo esercizio.. se la serie di partenza fosse stata:
$\sum_[n=1]^[infty]1/n*sin^2(1/n)$ (l'unica differenza con la precedente serie è nell'esponente del primo infinitesimo)
il primo metodo di risoluzione mi avrebbe portato a dire che $sen^2(1/n) \sim 1/n^2$, e che quindi la serie si sarebbe comportata come $\sum_[n=1]^[infty]1/n*1/n^2$ e sarebbe risultata convergente, mentre il secondo metodo mi avrebbe portato a dire che $\sum_[n=1]^[infty]1/n*sin^2(1/n)$ è maggiorata dalla serie $\sum_[n=1]^[infty]1/n$ che corrisponde alla serie armonica generalizzata ad esponente $\alpha=1$, che di conseguenza diverge.. I due risultati quindi non coincidono!
Sapreste aiutarmi? Ho forse fatto qualche errore nei calcoli o nei metodi utilizzati? Mi sono dimenticato di considerare qualcosa?
Grazie per l'aiuto in anticipo, ciao!
Risposte
Semplicemente, nel secondo caso la seconda maggiorazione fa troppo schifo e non ti permette di concludere niente (né che la serie converge né che diverge).
Uhm.. e in base a cosa io posso stabilire quando una maggiorazione fa "schifo" o meno 
? In generale quando mi risulta una maggiorazione alla serie armonica che diverge devo cercare qualche altro espediente?
Grazie
? In generale quando mi risulta una maggiorazione alla serie armonica che diverge devo cercare qualche altro espediente?Grazie
"BeNdErR":
Uhm.. e in base a cosa io posso stabilire quando una maggiorazione fa "schifo" o meno
In base alle informazioni che ti dà.
"BeNdErR":
In generale quando mi risulta una maggiorazione alla serie armonica che diverge devo cercare qualche altro espediente?
Certo.
Ad esempio, la serie:
\[
\sum \frac{\sin n}{n}
\]
si dimostra che è convergente con tecniche diverse dalla semplice maggiorazione: infatti maggiorare il seno con \(1\) non ti da informazioni buone sulla convergenza/divergenza della serie.
ottimo, grazie per la precisazione!
Per quanto riguarda l'esempio che hai fatto tu, come si potrebbe studiarne la convergenza? in questo caso non posso (se non erro) ricondurre la serie ad un'altra utilizzando i limiti notevoli, in quanto l'argomento del seno non è tendente a zero bensì a infinito..
Così a naso, direi che è la sommatoria di una quantità finita compresa tra $[-1,1]$ diviso una quantità via via più grande, il che risulta una somma di numeri (a segno alterno per determinati intervalli) sempre più piccoli.. Come arrivo però a dire che converge?
Per quanto riguarda l'esempio che hai fatto tu, come si potrebbe studiarne la convergenza? in questo caso non posso (se non erro) ricondurre la serie ad un'altra utilizzando i limiti notevoli, in quanto l'argomento del seno non è tendente a zero bensì a infinito..
Così a naso, direi che è la sommatoria di una quantità finita compresa tra $[-1,1]$ diviso una quantità via via più grande, il che risulta una somma di numeri (a segno alterno per determinati intervalli) sempre più piccoli.. Come arrivo però a dire che converge?
C'è un criterio di convergenza "fatto apposta" per queste situazioni e che è una generalizzazione del criterio di Leibniz.: si chiama criterio di convergenza di Dirichlet e l'ho usato qui per stabilire che la serie converge.
splendido, grazie mille!
e per chi come me nel programma di studio il criterio di convergenza di Dirichlet non esiste, come la dovrei risolvere?:)
Con il confronto asintotico, ovvero con il "metodo 1" del primo post.
Paola
Paola
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