Dubbio su risoluzione equazioni differenziali a variabili separabili

[carlo-96]

C'è un dubbio che non sono mai riuscito a risolvere dato che tutti i libri dicono come si fa ma non il perchè sia possibile farlo:

perchè ad esempio
$ y'=y^2 lnx $
che si puo scrivere anche come
$ dy/dx=y^2 lnx $
può diventare
$ dy/y^2=lnx dx $
senza che cambi nulla?? per me dy/dx era un modo alternativo per scrivere y', se rappresentano y' perchè posso separarli come se fossero due cose totalmente separate?? grazie in anticipo per eventuali risposte

[donald_zeka]

È semplicemente un abuso di notazione che permette di semplificare le cose portando allo stesso risultato.

[donald_zeka]

Tecnicamente il metodo giusto dovrebbe essere:

$(y'(x))/(y(x)^2)=lnx$

Integrando:

$int(y'(x))/(y(x)^2)dy=intlnxdx$

Quindi:

$-1/(y(x))=intlnxdx$

[anto_zoolander]

Se non sbaglio il ragionamento è possibile perché è stato definito possibile in questo caso. Mi spiego meglio: penso che questo ragionamento di spezzare in due la scritta $dy/dx$ riassuma un poco ciò che in realtà si fa. Lo puoi fare perché dalla teoria sappiamo che dietro c'è un ragionamento che mi permette di farlo.

$y'=y^2lnx$ in realtà sarebbero $y'(x)$ e $y(x)^2$ poiché sono funzioni che dipendono da $x$.

supponiamo $yne0$ e dividiamo

$(y'(x))/(y(x)^2)=lnx,x>0$ ora integriamo membro a membro rispetto a $x$

$int(y'(x))/(y(x)^2)dx=intln(x)dx$

$y(x)=t <=> dt/dx=y'(x)$ dal quale si trova $dt=y'(x)dx$

facendo così la funzione diventa $int1/t^2dt=intlnxdx$

mentre operando con il trucco permesso dalle variabili separabili si ha:

$dy/y^2=lnxdx$ e integrando rispetto a ciascuna delle variabili otteniamo $int1/y^2dy=intlnxdx$

vediamo cosa succede per quanto riguarda la soluzione...

$-1/t=x(lnx-1)+c <=> t=-1/(x(lnx-1)+c)$ ovvero $y(x)=-1/(x(lnx-1)+c)$

$-1/(y(x))=x(lnx-1)+c=...$

come puoi vedere, quel gesto di spaccare in due la derivata, è giustificato da questo.

in generale un'eq. differenziale a variabili separabili si presenta così:

$y'(x)=f(x)g(y(x)), f,g$ continue.

si suppone $g(y(x))ne0$, discutendolo successivamente, e si divide per $g(y(x))$

$(y'(x))/g(y(x))=f(x)$

ora integriamo membro a membro. Questo è possibile poiché abbiamo supposto le funzioni continue sul loro dominio, condizione più forte della integrabilità.

$int(y'(x))/g(y(x))dx=intf(x)dx$

ora facciamo il ragionamento di prima $t=y(x) <=> y'(x)dx=dt$

sostituendo si ottiene $int1/g(t)dt=F(x)+c$

[Fioravante Patrone1]

Lo sconcio del metodo urang-utang© continua a colpire

http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm

http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... -utang.pdf

[dissonance]

Ho scoperto che anche Gian Carlo Rota, come Fioravante Patrone, ha scritto sul metodo urang-utang (non chiamandolo così):

https://web.williams.edu/Mathematics/lg5/Rota.pdf

(cfr. punto 7: "Stay away from differentials").

[Fioravante Patrone1]

"dissonance":Ho scoperto che anche Gian Carlo Rota
...

Grazie per la segnalazione!