Dubbio su punti stazionari...

[nicco.c]

ciao a tutti, un esercizio mi chiede di dimostrare che una funzione ha infiniti punti stazionari liberi....
mi chiedevo se per fare ciò avesse senso dimostrare che il determinante della matrice hessiana è nullo..


grazie mille!!

[Berationalgetreal]

Uhm, no. Il determinante dell'hessiana nullo non dà alcuna informazione sui punti stazionari. Per dimostrare che ce ne siano infiniti, basta risolvere $ \nabla f = 0 $. Se viene fuori che le soluzioni sono una retta (o un piano) allora i punti stazionari sono infiniti. Di che funzione si tratta?

[nicco.c]

la funzione è la seguente:

$ f(x,y)=(2x-3y)^2 $

se annullo il gradiente:

$ { ( 8x-12y=0 ),( 18y-12x=0 ):} $

che in effetti sono due piani...

[Berationalgetreal]

Non sono due piani! Nel caso di una funzione in (x,y) ci troviamo in uno spazio delle soluzioni di dimensione 2.

Inoltre, se guardi bene, le due equazioni sono equivalenti: una è multiplo dell'altra. Questo vuol dire che una è ridondante, e ciò che ti rimane è

\[ 4x - 6y = 0 \implies y = \frac {2}{3} x \]

Quindi i punti stazionari sono infiniti, poiché per ogni scelta arbitraria di $x_0$ c'è un corrispondente $y_0$ tale che $(x_0; y_0)$ è un punto stazionario.

[nicco.c]

tutto chiaro, grazie mille!!