Dubbio su limiti con Taylor

[stefano_89]

Ciao a tutti. ho un limite da proporvi che mi sta dando più di qualche problema..

$lim_(x-> +\infty) x(e^((x - 2)/(3x + 5)) - e^(1/3))$

Allora, il termine tra parentesi è un infinitesimo, quindi prova a ricavarne lo sviluppo di McLaurin:

$e^((x - 2)/(3x + 5)) = e^((x - 2)/(3x + 5)) + x[e^((x - 2)/(3x + 5))2/(3x + 5)^2]$

Ora, il problema è che la parte tra parentesi è una cosa del tipo: $a/x^2$ quindi tende sempre a zero, e se provo a sviluppare ulterirmente la storia non cambia.
Poi ho provato ad applicare direttamente lo sviluppo semza ricavarmi le derivata, cioè applicando: $e^x = 1 + x + x^2/2...$ e ottengo
$e^((x - 2)/(3x + 5)) = e^((x - 2)/(3x + 5)) + x[(x - 2)/(3x + 5)]$ cioè:

$e^((x - 2)/(3x + 5)) = e^(1/3) + x/3$

Che sostituito nel limite dà: $lim_(x-> +\infty) x^2/3 = +\infty$

La mia domanda è: quale dei 2 sviluppi è corretto ??
Grazie a tutti..

[deserto1]

Io avrei raccolto $e^(1/3)$ ottenendo

$lim_(x-> +\infty) x(e^((x - 2)/(3x + 5)) - e^(1/3))=$

$=lim_(x-> +\infty) xe^(1/3)(e^((-11)/(9x + 15)) - 1)=$

$=e^(1/3)((-11x)/(9x+15))(e^((-11)/(9x + 15)) - 1)/(-11/(9x+15))$

Adesso puoi sostituire $y=1/x$.

[stefano_89]

Scusa non ho capito il tuo raccoglimento, e comunque quello sviluppo mi viene chiesto di risolverlo in un passo seguente..