Dubbio su integreale in doppia variabile.

[vaikkonen]

Buongiorno ragazzi.

Nello scorso esame di analisi II mi è capitato questo integrale in doppia variabile:

$\int f(x,y)$ dove $f(x,y)= x^2+y^2$ esteso alla curva $\gamma$ : $(e^tcost, e^tsint)$, con $t$ appartenente a: $(0,1/3)$

Allora....... io ho sostituito l'equazione di $\gamma$ in $f(x,y)$ ottenendo: $\int_0^(1/3) (e^t)^2cos^2(t) + (e^t)^2sin^2(t) dt $; raccogliendo $(e^t)^2$ ottengo:

$\int_0^(1/3) (e^t)^2 dt$.

Io credevo che non avesse soluzione, in quando l'integrale di $(e^t)^2$ non esiste; invece ha come soluzione: $(sqrt(2)/3)e-sqrt(2)/3$

Dove sbaglio?

Grazie mille e buona giornata.

[dissonance]

"vaikkonen":Buongiorno ragazzi.

Nello scorso esame di analisi II mi è capitato questo integrale in doppia variabile:

$\int f(x,y)$ dove $f(x,y)= x^2+y^2$ esteso alla curva $\gamma$ : $(e^tcost, e^tsint)$, con $t$ appartenente a: $(0,1/3)$

Allora....... io ho sostituito l'equazione di $\gamma$ in $f(x,y)$ ottenendo: $\int_0^(1/3) (e^t)^2cos^2(t) + (e^t)^2sin^2(t) dt $

Ti sei scordato l'elemento di lunghezza. Scrivi bene le cose: l'integrale da calcolare è $int_gamma f(x, y) ds$. Quel $ds$ te lo sei mangiato.

l'integrale di $(e^t)^2$ non esiste

Pensaci dieci volte prima di dire una cosa del genere: è un errore molto grave. Non è che "l'integrale non esiste", una frase del genere forse te la davano per buona a scuola superiore (purtroppo) ma all'università assolutamente no. Data una funzione continua $g(x)$, ha perfettamente senso parlare sia di integrale definito $int_a^bg(x)dx$, sia di integrale indefinito $int g(x)dx$ della $g$ ed entrambi esistono di sicuro. Poi, che il secondo non sia esprimibile in termini di funzioni elementari è un altro discorso, un accidente che a volte ci può creare qualche problema nei calcoli (ma neanche tanto, in realtà). Ma di sicuro è totalmente sbagliato dire che esso non esiste.

Comunque, guarda meglio. $(e^t)^2=e^t*e^t=e^{2t}$, che ha una primitiva esprimibilissima in termini di funzioni elementari.

[vaikkonen]

Io sapevo che non si poteva calcolare questo integrale...
Forse quello che volevo scrivere non era $(e^t)^2$, ma soltanto la $t$ al quadrato(scusa se lo scrivo così, ma non mi riesce esprimerlo con le formulette apposite)

[dissonance]

"vaikkonen":Io sapevo che non si poteva calcolare questo integrale...

Ma il mio intervento lo hai letto o no? Mi pare di no.

Forse quello che volevo scrivere non era $(e^t)^2$, ma soltanto la $t$ al quadrato(scusa se lo scrivo così, ma non mi riesce esprimerlo con le formulette apposite)

Volevi dire $e^{t^2}$ allora. E' proprio diverso da $(e^t)^2$, stai attento. Comunque, questo integrale indefinito:

$int e^{t^2}dt$

esiste, ma non si può esprimere in termini delle funzioni elementari solite: polinomi, funzioni esponenziali, funzioni trigonometriche e iperboliche. In questo senso "non si può calcolare".


In ogni caso, il tuo errore nell'esercizio precedente sta nella questione del $ds$, come ti ho già detto.

[vaikkonen]

Il tuo intervento l'ho letto; ho dato quella risposta vendendo la piccola uguaglianza che hai fatto a fine post.

Cmq grazie per la dritta