Dubbio su funzione irrazionale e dominio

[simo9115]

salve a tutti.
molti di voi mi picchieranno per la domanda che sto per fare ma veramente oggi il mio cervello è bloccato e non riesco ad andare avanti.
devo studiare questa funzione: $ f(x)=x-sqrt(|x^2-4x|+4) $
nella mia testa ho eseguito questo tipo di ragionamento:

$ f(x){ ( x-sqrt(x^2-4x+4)if x>=0),( x-sqrt(-x^2+4x+4)if 0<=x<=4 ):} $

andando a guarda la soluzione il mio prof ha scritto:

$ f(x){ ( 2x-2if x<=0),( x-sqrt(-x^2+4x+4)if 0<=x<=4 ),(2 if x>=4):} $

perchè la quantità verificata per $ x>=4 $ l'ha spezzata in 2 parti?

[Gi81]

Perché $x^2-4 x >=0 <=> ( x<=0 vv x>=4)$.


Quindi se $x<=0 vv x>=4$ si ha $f(x)= x-sqrt(x^2-4x+4)= x-sqrt((x-2)^2)= x-|x-2|$
e a questo punto:
se $x<=0$ si ha $f(x)= x-(-x+2)= x+x-2=2x-2$,
mentre se $x>=4$ si ha $f(x)= x-(x-2)= x-x+2=2$.

[simo9115]

"Gi8":Perché $x^2-4 x >=0 <=> ( x<=0 vv x>=4)$.


Quindi se $x<=0 vv x>=4$ si ha $f(x)= x-sqrt(x^2-4x+4)= x-sqrt((x-2)^2)= x-|x-2|$
e a questo punto:
se $x<=0$ si ha $f(x)= x-(-x+2)= x+x-2=2x-2$,
mentre se $x>=4$ si ha $f(x)= x-(x-2)= x-x+2=2$.

aaaa quando semplifico la radice devo mettere il modulo!!! non mi ricordavo +! sorry
grazie veramente grazie infinite!