Dubbio su funzione integrali
Si chiede di determinare il dominio della funzione $F(x) = int_1^x (log(t + 1))/t dt$ .
Il dominio della funzione integranda $f(t)$ è $A = ]-1 , 0 [ uu ] 0 , +oo[$.
Ai fini dell'esercizio non è interessante capire se $f(t)$ è integrabile in senso generalizzato in un intorno di $+oo$, giusto? Si può dire che è ivi definita.
Cosa succede in $0$? La funzione integranda ha una discontinuità eliminabile, in particolare: $lim_(t -> 0^+) (log(t + 1))/t = 1$
Senza ricorrere al teorema del confronto si può dire, in base al risultato del limite appena calcolato, che la funzione $f(t)$ è a $int$ convergente in un intorno destro di $0$?
La situazione è questa: $F(x) = int_0^1 f(t) dt$ con $f(t)$ definita e continua in $(0,1]$. Mi chiedo se è vero che, se $lim_(t -> 0^+) f(t) = L in RR$ , allora $F(x)$ è definita in $0$ perché $f$ è a $int$ convergente in un intorno destro di $0$.
Io direi che è vero e che si può giustificare definendo una nuova funzione $f^(*)(t)$, che vale quanto la $f$ in $(0,1]$ e vale $L$ in $0$. Questa funzione è integrabile in $[0,1]$ perché è continua. Ma allora non tiro fuori neanche la nozione di integrale generalizzato... Forse dipende dal teorema di Lebesgue - Vitali. Qualcuno può chiarirmi le idee?
Il dominio della funzione integranda $f(t)$ è $A = ]-1 , 0 [ uu ] 0 , +oo[$.
Ai fini dell'esercizio non è interessante capire se $f(t)$ è integrabile in senso generalizzato in un intorno di $+oo$, giusto? Si può dire che è ivi definita.
Cosa succede in $0$? La funzione integranda ha una discontinuità eliminabile, in particolare: $lim_(t -> 0^+) (log(t + 1))/t = 1$
Senza ricorrere al teorema del confronto si può dire, in base al risultato del limite appena calcolato, che la funzione $f(t)$ è a $int$ convergente in un intorno destro di $0$?
La situazione è questa: $F(x) = int_0^1 f(t) dt$ con $f(t)$ definita e continua in $(0,1]$. Mi chiedo se è vero che, se $lim_(t -> 0^+) f(t) = L in RR$ , allora $F(x)$ è definita in $0$ perché $f$ è a $int$ convergente in un intorno destro di $0$.
Io direi che è vero e che si può giustificare definendo una nuova funzione $f^(*)(t)$, che vale quanto la $f$ in $(0,1]$ e vale $L$ in $0$. Questa funzione è integrabile in $[0,1]$ perché è continua. Ma allora non tiro fuori neanche la nozione di integrale generalizzato... Forse dipende dal teorema di Lebesgue - Vitali. Qualcuno può chiarirmi le idee?
Risposte
Cancellato.
Scusa ma perchè dici che il dominio dell'integranda arriva fino a -1? O.o
Scusami/scusatemi. Avevo scritto un'altra funzione; ora è corretto. 
Ah ok, comunque non seguo bene i tuoi ragionamento con le maggiorazioni; in ogni caso per le altre due domande:
No perchè tanto in ogni caso sarà definita "fino a infinito", come hai detto tu.
Certo, anche qui come hai detto tu. L'integrale è definita in 0!
Ai fini dell'esercizio non è interessante capire se $f(t)$ è integrabile in senso generalizzato in un intorno di più infinito, giusto?
No perchè tanto in ogni caso sarà definita "fino a infinito", come hai detto tu.
Senza ricorrere al teorema del confronto si può dire, in base al risultato del limite appena calcolato, che la funzione $f(t)$ è a $int$ convergente in un intorno destro di $0$?
Certo, anche qui come hai detto tu. L'integrale è definita in 0!
"Giuly19":
Senza ricorrere al teorema del confronto si può dire, in base al risultato del limite appena calcolato, che la funzione $f(t)$ è a $int$ convergente in un intorno destro di $0$?
Certo, anche qui come hai detto tu. L'integrale è definita in 0!
Quindi perché la prolungo per continuità?
In sostanza aggiungo un punto all'intervallo $(0,1]$ e questo non dovrebbe alterare il valore (il carattere?) dell'integrale. E' questo il motivo?
Grazie.
Io la vedo in questo modo: pensa alla definizione di funzione integrale, in questo caso è la funzione che in $0$ vale $ -int_(0)^(1)log(1+t)/t dt$ che in questo caso è un valore finito quindi in quel punto è definita. Nel caso di integrale improprio non convergente non è definita in quanto tende a più infinito.
Magari però non era questo che stavi cercando di giustificare..
Magari però non era questo che stavi cercando di giustificare..
"Seneca":Si. Precisamente puoi dire, date due funzioni $f, g$, che se $f$ è integrabile secondo Riemann e $g(x)=f(x)$ in ogni $x$ tranne al più per un numero finito, allora anche $g$ è integrabile e i rispettivi integrali coincidono. Questo è anche facile da dimostrare, tuttalpiù è un po' rognoso per la scelta delle somme superiori e inferiori.
In sostanza aggiungo un punto all'intervallo $(0,1]$ e questo non dovrebbe alterare il valore (il carattere?) dell'integrale. E' questo il motivo?
Ora non ti resta che applicare questo risultato usando come $f$ la funzione integranda prolungata per continuità e come $g$ la funzione integranda originaria.
Comunque, un piccolo consiglio: non ti formalizzare troppo. E' chiaro che se una funzione ha in un punto una discontinuità eliminabile, allora la discontinuità "è come se non ci fosse", esiste solo da un punto di vista strettamente formale.
"dissonance":Si. Precisamente puoi dire, date due funzioni $f, g$, che se $f$ è integrabile secondo Riemann e $g(x)=f(x)$ in ogni $x$ tranne al più per un numero finito, allora anche $g$ è integrabile e i rispettivi integrali coincidono. Questo è anche facile da dimostrare, tuttalpiù è un po' rognoso per la scelta delle somme superiori e inferiori.
[quote="Seneca"]In sostanza aggiungo un punto all'intervallo $(0,1]$ e questo non dovrebbe alterare il valore (il carattere?) dell'integrale. E' questo il motivo?
Ora non ti resta che applicare questo risultato usando come $f$ la funzione integranda prolungata per continuità e come $g$ la funzione integranda originaria.
Comunque, un piccolo consiglio: non ti formalizzare troppo. E' chiaro che se una funzione ha in un punto una discontinuità eliminabile, allora la discontinuità "è come se non ci fosse", esiste solo da un punto di vista strettamente formale.[/quote]
Grazie infinite. E' tutto chiarissimo.
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