Dubbio su forme differenziali

[sheldon1]

ciao, avrei un dubbio sulle forme differenziali; so che se una forma differenziale è chiusa (ovverlo le derivate miste delle componenti sono uguali) in uno stellato è anche esatta; ma come dimostro che una forma è esatta in un insieme non stellato??

[ciampax]

Non c'è un modo preciso: quello che si fa di solito (almeno quando l'insieme è privato solo di un punto) è di integrare la forma su una curva chiusa attorno a tale punto e verificare che tale integrale ha valore zero. Tuttavia esso è molto più valido per dimostrare la "non esattezza", in quanto dovresti far vedere che per tutte le curve chiuse di qualsiasi tipo vale questa condizione.

Se invece l'insieme è costituito da "pezzi" diversi, puoi studiare l'esattezza della forma sui singoli domini, e concludere che su ognuno (se c'è esattezza) esiste un potenziale differente (di solito che si differenzia da un dominio all'altro per una costante).

[sheldon1]

quindi una volta che traccio una curva chiusa (la classica circonferenza di solito) e verifico che l'integrale è 0 come ne deduco che la forma differenziale è esatta? se non sbaglio è esatta se ogni curva chiusa ha integrale 0 no?

[ciampax]

Appunto, è quello che ti ho detto: il metodo di integrare su una curva chiusa serve per dimostrare la non esattezza, più che l'esattezza. In generale, quando l'insieme non è stellato, lo si suddivide in insiemi semplicemente connessi (insiemi in cui ogni curva è contraibile ad un punto) e si ragiona sui singoli insiemi.