Dubbio su dimostrazione esistenza parte intera di un numero reale

[marco2132k]

Salve! Capitando su questo post mi è sorto un dubbio assurdo sulla dimostrazione riguardante l'esistenza della funzione parte intera, in particolare riguardo all'unicità di "\(m\)".

Il claim è ovviamente la ben definizione della funzione \(\lfloor x\rfloor\). Dopo aver dimostrato l'esistenza dell'intero \(m=\lfloor x\rfloor\) per ogni \(x\) reale (sì, abuso di notazione, ma si capisce spero), in quel thread si afferma che la sua unicità è evidente considerando \(n\neq m\) intero e, senza assumere esplicitamente \(n\leq x < n+1\), si passa a distinguere il caso in cui \(m
Ora, a che mi giova sapere che per \(n\in\mathbb{Z}\), \(n\neq m\) ottengo quanto sopra (quando \(n\) è ovviamente un intero qualsiasi, non necessariamente che \(n\leq x < n+1\))? C'è forse qualcosa che mi sfugge (qualche considerazione sui \(\max\)/ \(\min\)/maggioranti ecc...) ?

[killing_buddha]

\(\lfloor x\rfloor := \max\{m\in\mathbb Z\mid m \le x\}\); ogni sottoinsieme di interi limitato dall'alto ammette massimo, quindi \(\lfloor x\rfloor\) esiste. Che ora valga \(\lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x\rfloor + 1\) discende direttamente dalla sua definizione, e la sua unicità discende dall'ordine totale su $ZZ$.

[gugo82]

Vuoi dimostrare che il numero $m$ è l'unico in $ZZ$ a godere della proprietà $m<= x Qui si aprono due strade: o (come vuoi fare tu), assumi esista un $n in ZZ$ tale che $n<= x
La dimostrazione, nel caso del testo, è semplice ed è basata sulle Leggi di De Morgan, sul Principio di Tricotomia e sulla discretezza di $ZZ$.
Infatti, dire che $n$ non gode di $n<=x Dato che in $ZZ$ vale il Principio di Tricotomia, scelto $n!=m$ si ha $n

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[marco2132k]

Grazie ad entrambi!

"killing_buddha":\( \lfloor x\rfloor := \max\{m\in\mathbb Z\mid m \le x\} \); [...]

Assolutamente sì (ed in effetti è come l'avrei pensata anch'io). Ho preso di mira però quei passaggi, quelli della foto sul post linkato.

"gugo82":Infatti, dire che \(n\) non gode di \(n\leq x < n+1\) equivale a dire che [...]

Sì, è questo il problema: avrei dovuto arrivarci

[gugo82]

Prego!