Dubbio su dimostrazione delle formule di Gauss-Green

[Gianfry7]

Salve a tutti, ho un dubbio su alcuni passaggi delle formule di Gauss Green.
In particolare, la dimostrazione inizia tenendo in considerazione domini normali rispetto a y. In questo caso, la frontiera del dominio viene scomposta in 4 parti:
$ int_(+partial D)^ () f dy = int_(gamma 1) f dy+int_(gamma 2) f dy + int_(gamma3)fdy+ int_(gamma4)fdy $

A questo punto si considerano i membri paralleli all'asse x pari a 0 (perchè dy =0) e si considerano gli altri membri

$ int_(gamma1) f dy = int_c ^d f(alpha(y),y)dy $

Ebbene, in questa formula.. non manca il membro $ ||alpha'(y)|| $ che dovrebbe essere presente dalla definizione di integrale curvilineo (e che in questo caso dovrebbe valere $ sqrt(alpha'(y)^2 + 1 $) ??

[phaerrax]

Ricorda che stai integrando una forma differenziale lineare, per la quale vale (prendendo una forma in \(\mathbb{R}^2\))
\[
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\int_\lambda \bigl[a(x,y)\,\dd x+b(x,y)\,\dd y\bigr]=
\int_0^1\Bigl[a\bigl(\lambda(t)\bigr)\dot{\lambda}_1(t)+b\bigl(\lambda(t)\bigr)\dot{\lambda}_2(t)\Bigr]\,\dd t
\]
per una curva \(\lambda\colon[0,1]\to\mathbb{R}^2\) generica (il punto indica la derivata rispetto a \(t\)).
La norma del vettore tangente non appare nell'integrale.
Nel caso del teorema che hai citato hai \(a=0\) e \(\lambda(t)=\bigl(\lambda_1(t),\lambda_2(t)\bigr)=\bigl(\alpha(t),t\bigr)\), con \(t\in[c,d]\).

[Gianfry7]

Grazie mille! Utilissimo!