Dubbio su derivata con la funzione sign
Buonasera, volevo avere delle delucidazioni in merito a studi di funzione con il modulo.
Generalmente il metodo che utilizzavo prima era quello di fare la derivata sulle "sottofunzioni" generate dal modulo nel caso in cui l'argomento del modulo fosse >= o < 0 . Tuttavia, ho da poco visto la tecnica di derivazione con la funzione sign il che mi è sembrata molto piu sbrigativa per alcuni casi, ad esempio nei casi in cui derivando mi riconduco facilmente a dei prodotti ed in cui è facile studiare quindi il segno di sign(f(x)) poichè mi basta considerare quando l'argomento di quest'ultima è >0 per la positività, diversamente <0 per la negatività. Però nel caso in cui derivando, non mi riconduco a dei prodotti, non posso fare il ragionamento di prima giusto? Ho pensato dunque di dividere i casi in cui l'argomento del sgn è >0 per sostituirmi nella derivata 1 e i casi in cui l'argomento è <0 per sostituirmi -1 e mi ritorverei dunque a studiare 2 derivate differenti similmente al metodo che utilizzavo prima . Sperando che il mio ragionamento sia corretto, vi mostro i passaggi che ho effettuato per derivare questa funzione : $log((x^2+2)/|x+3|)$. La derivata che mi esce è la seguente : $|x+3|/(x^2+2)*(2x*sign(x+3)-(x^2+2*|x+3|))/(x+3)^2$. Dividendo quindi i casi del sign , per x>-3 avrò $(x+3)/(x^2+2)*(2x-(x^2+2*x+3))/(x+3)^2$. Per x<-3 invece $(-x-3)/(x^2+2)*(-2x-(x^2+2*x+3))/(x+3)^2$. C'è qualcosa di sbagliato?
Generalmente il metodo che utilizzavo prima era quello di fare la derivata sulle "sottofunzioni" generate dal modulo nel caso in cui l'argomento del modulo fosse >= o < 0 . Tuttavia, ho da poco visto la tecnica di derivazione con la funzione sign il che mi è sembrata molto piu sbrigativa per alcuni casi, ad esempio nei casi in cui derivando mi riconduco facilmente a dei prodotti ed in cui è facile studiare quindi il segno di sign(f(x)) poichè mi basta considerare quando l'argomento di quest'ultima è >0 per la positività, diversamente <0 per la negatività. Però nel caso in cui derivando, non mi riconduco a dei prodotti, non posso fare il ragionamento di prima giusto? Ho pensato dunque di dividere i casi in cui l'argomento del sgn è >0 per sostituirmi nella derivata 1 e i casi in cui l'argomento è <0 per sostituirmi -1 e mi ritorverei dunque a studiare 2 derivate differenti similmente al metodo che utilizzavo prima . Sperando che il mio ragionamento sia corretto, vi mostro i passaggi che ho effettuato per derivare questa funzione : $log((x^2+2)/|x+3|)$. La derivata che mi esce è la seguente : $|x+3|/(x^2+2)*(2x*sign(x+3)-(x^2+2*|x+3|))/(x+3)^2$. Dividendo quindi i casi del sign , per x>-3 avrò $(x+3)/(x^2+2)*(2x-(x^2+2*x+3))/(x+3)^2$. Per x<-3 invece $(-x-3)/(x^2+2)*(-2x-(x^2+2*x+3))/(x+3)^2$. C'è qualcosa di sbagliato?
Risposte
Ciao nico_engineering_dd,
Non è più comodo applicare la proprietà dei logaritmi ?
$\frac{\text{d}}{\text{d}x}[log((x^2+2)/|x+3|)] = \frac{\text{d}}{\text{d}x}[log(x^2+2) - log|x+3|] = (2x)/(x^2 + 2) - 1/|x + 3| \cdot (x + 3)/(|x + 3|) = $
$ = (2x)/(x^2 + 2) - (x + 3)/(x + 3)^2 = (2x(x + 3)^2 - (x + 3)(x^2 + 2))/((x^2 + 2)(x + 3)^2) = (x^2 + 6x - 2)/((x^2 + 2)(x + 3)) $
Non è più comodo applicare la proprietà dei logaritmi ?
$\frac{\text{d}}{\text{d}x}[log((x^2+2)/|x+3|)] = \frac{\text{d}}{\text{d}x}[log(x^2+2) - log|x+3|] = (2x)/(x^2 + 2) - 1/|x + 3| \cdot (x + 3)/(|x + 3|) = $
$ = (2x)/(x^2 + 2) - (x + 3)/(x + 3)^2 = (2x(x + 3)^2 - (x + 3)(x^2 + 2))/((x^2 + 2)(x + 3)^2) = (x^2 + 6x - 2)/((x^2 + 2)(x + 3)) $
"pilloeffe":
Ciao nico_engineering_dd,
Non è più comodo applicare la proprietà dei logaritmi ?
$\frac{\text{d}}{\text{d}x}[log((x^2+2)/|x+3|)] = \frac{\text{d}}{\text{d}x}[log(x^2+2) - log|x+3|] = (2x)/(x^2 + 2) - 1/|x + 3| \cdot (x + 3)/(|x + 3|) = $
$ = (2x)/(x^2 + 2) - (x + 3)/(x + 3)^2 = (2x(x + 3)^2 - (x + 3)(x^2 + 2))/((x^2 + 2)(x + 3)^2) = (x^2 + 6x - 2)/((x^2 + 2)(x + 3)) $
Si vero! non ci avevo proprio pensato
, però mi interessava risolverlo anche con il sign perchè spesso mi si è presentato un caso analogo e puntualmente mi blocco 
Qualcuno che può darmi una mano? 
Beh, se proprio ci tieni sostituisci $ \text{sgn}(x + 3) $ al posto di $(x + 3)/|x + 3| $ nello svolgimento che ti ho scritto, ovviamente per $x \ne - 3 $
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