Dubbio su calcolo di una derivata

[astob]

probabilmente sarà una cavolata ma ecco comunque il io problema:
calcolare il valore di $f'(x)$in $x=2$
$ f(x)= |(x-2)^2| $

io ho fatto questo ragionamento: funzione composta, quindi applico la regola di derivazione per le funzioni composte(http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_della_catena arrivando a :
$ f'(x)= (x-2)^2/|(x-2)^2|* 2(x-2)$

bene...
1) perchè Wolframalpha mi da come risultato $2(x-2)$? penso che sia perchè essendoci il quadrato i termini della frazione si riducono ad 1
2) tenendo la "mia formula" in $x=2$ la derivata non esiste, perchè avremmo al denominatore $ 0$ ,viceversa nella versione (corretta) di wolframalpha $f'(x)=0$
Dunque, dove sbaglio?
grazie anticipatamente a tutti

[MasterCud]

scusa non riesco a capire i passaggi che hai fatto..devi derivare $1/(x-2)^2 $ o $|(x-2)^2|$?? che formula hai utilizzato?? prima di tutto dal momento che hai un valore assoluto devi studiare il segno della f al variare di x...il che significa dunque calcolare 2 derivate per $x>2$ in cui avrai $f(x)=(x-2)^2$ e per $x<2$ in cui avrai $f(x)=-(x-2)^2$ dopo di che le derivate mi sembrano abbastanza semplici, ti imposto solo il calcolo: $f'(x)=2(x-2)^(2-1)*d(x-2) $ a questo punto lascio a te il risultato....la formula che ho utilizzato è la seguente sia dunque f una funzione del tipo $f(x)=f(x)^alpha$ allora la sua derivata sarà: $(df(x))/dx=alpha f(x)^(alpha-1)*df(x)$

[Zero87]

Domanda stupida...

Ma siccome $(x-2)^2 \ge 0$, $\forall x$ allora $f(x)= |(x-2)^2|= (x-2)^2$?

A meno che non sia
$f(x)=|x-2|^2$...

[astob]

la funzione da derivare è la seconda che hai scritto ovviamente(è riportata nel mio post iniziale).
Io ho fatto così: regola della catena quindi $d f(g(x))= f'(g(x))*g'(x)$
la derivata del valore assoluto di x è $x/|x|$ in questo caso $(x-2)^2/|(x-2)^2|$,il secondo termine è ovviamente $2(x-2)$
ricapitolando $d f(g(x))= (x-2)^2/|(x-2)^2|*2(x-2) $

tutto qui

[Zero87]

"astob":la funzione da derivare è la seconda che hai scritto ovviamente(è riportata nel mio post iniziale).

Mah, forse sono stordito io o google chrome, ma leggo

"astob":probabilmente sarà una cavolata ma ecco comunque il io problema:
calcolare il valore di $ f'(x) $in $ x=2 $
$ f(x)= |(x-2)^2| $

diverso da quello che intendi, cioè la seconda che ho scritto, cioè $f(x)=|x-2|^2$.

Però, non fa nulla, l'importante è che ci capiamo. Aggiungo al tuo ultimo post che la regola di derivazione di un modulo sta sulla tabella di wikipedia... ed è lì che l'ho vista per la prima volta!

In generale, si può utilizzare la vecchia scuola, ovvero
$f(x)=|x-2|^2$, e fino a qui ci siamo.

Se $x\ge 2$, $f(x)= (x-2)^2$ e $f'(x)= 2(x-2)$.
Se $x<2$, $f(x)= (2-x)^2$ e $f'(x)= -2(2-x)= 2(x-2)$ uguale alla precedente.

Comunque, sempre ammesso che la funzione sia $f(x)= |x-2|^2$, se la vai a derivare con la regola di derivazione del modulo (contando anche che è una composizione di funzioni), hai
$f'(x)= 2 \cdot |x-2| \cdot \frac{(x-2)}{|x-2|}= 2 \cdot (x-2)$

Cosa ho combinato? Ho solo applicato più volte la regola di derivazione di funzione composta, cioè
1.
derivata del quadrato = 2 per derivata della base
2.
derivata della base (quella del valore assoluto)
3.
se all'interno del modulo c'era qualcosa di più complicato dovevo derivare anche quello.

[astob]

"Zero87":

Però, non fa nulla, l'importante è che ci capiamo. Aggiungo al tuo ultimo post che la regola di derivazione di un modulo sta sulla tabella di wikipedia... ed è lì che l'ho vista per la prima volta!

In generale, si può utilizzare la vecchia scuola, ovvero
$f(x)=|x-2|^2$, e fino a qui ci siamo.

Se $x\ge 2$, $f(x)= (x-2)^2$ e $f'(x)= 2(x-2)$.
Se $x<2$, $f(x)= (2-x)^2$ e $f'(x)= -2(2-x)= 2(x-2)$ uguale alla precedente.

Comunque, sempre ammesso che la funzione sia $f(x)= |x-2|^2$, se la vai a derivare con la regola di derivazione del modulo (contando anche che è una composizione di funzioni), hai
$f'(x)= 2 \cdot |x-2| \cdot \frac{(x-2)}{|x-2|}= 2 \cdot (x-2)$

Cosa ho combinato? Ho solo applicato più volte la regola di derivazione di funzione composta, cioè
1.
derivata del quadrato = 2 per derivata della base
2.
derivata della base (quella del valore assoluto)
3.
se all'interno del modulo c'era qualcosa di più complicato dovevo derivare anche quello.

la formula che ho usato io per la derivata di un modulo sta in molti testi di analisi 1,sicuramente sull'Adams e sul Bramanti
comunque,usando la vecchia scuola i conti tornano,avrei risparmiato molto tempo e fatica
Quel che ancora non mi torna è la (medesima)derivata usando la regola della catena,cosa sbaglio io nei calcoli di sopra?

[Zero87]

"astob":Quel che ancora non mi torna è la (medesima)derivata usando la regola della catena,cosa sbaglio io nei calcoli di sopra?

Per le funzioni composte serve la mentalità da matrioske o, comunque, da scatole una dentro l'altra.

Considera $f(x)= |x-2|^2$.

Come la inquadri?
Dall'interno all'esterno, cioè
$a(x)= x-2$
$b(x)=|x|$
$c(x)=x^2$

Quindi
$b(a(x))= |x-2|$
(volendo $c(b(x))= |x|^2$)

infine
$c(b(a(x)))= |x-2|^2$.

Ora, per la regola della catena (con $D$ indico "derivata di...")
$D(c(b(a(x))))= c'(b(a(x)))b'(a(x))a'(x)$

Quindi il primo pezzo è
$2 |x-2|$ perché è $c'$ di $b(a(x))$
il secondo pezzo è
$(x-2)/|x-2|$ perché è $b'(a(x))$
infine $a'(x)=1$ e non c'è da dire nulla...

Moltiplicando questi pezzi viene
$f'(x)= D(c(b(a(x))))= c'(b(a(x)))b'(a(x))a'(x)= 2 |x-2| \cdot (x-2)/|x-2| \cdot 1 = 2(x-2)$.

Un ultimo appunto puramente teorico.
Se devi calcolare la derivata in $x=2$, non puoi usare nessuna regola al di fuori di limite destro e sinistro (vecchia scuola, cioè) poiché andando a fare la derivata del modulo ti ritrovi quel $|x-2|$ al denominatore che "non puoi" semplificare a cuor leggero dato che diventa zero. In realtà facendo il limite e chiudendo un occhio si potrebbe anche fare, ma non sarebbe un procedimento del tutto rigoroso.