Dubbio spazi di Sobolev
Indico con $W^(1,2)(I)$ lo spazio di Sobolev delle funzioni $f\in L^2(I)$ tali che $f'\in L^2(I)$ dove I è un intervallo di $RR$ diverso da $RR$ stesso
e con $W^(2,2)(I)$ lo spazio di Sobolev delle funzioni $f\in L^2(I)$ tali che $f',f''\in L^2(I)$
Ora contenuti in tali spazi ci sono gli spazi noti come $W_0^(1,2)(I)$ e $W_0^(2,2)(I)$
So che $W_0^(1,2)(I)$ posso vederlo in vari modi:
- l'insieme delle funzioni $f\inW^(1,2)(I)$ tali che $f=0$ sul bordo di I
- la chiusura di $C_0^1(I)$ (funzioni a supporto compatto derivabili 1 volta con continuità)
- la chiusura di $C_0^\infty(I)$
Ora il mio problema è $W_0^(2,2)(I)$. So infatti che c'è differenza tra questo spazio e $W^(2,2)(I)nnW_0^(1,2)(I)$
Infatti se $f\inW_0^(2,2)(I)$ allora sia f, sia $f'$ devono essere nulle sul bordo di I; mentre nell'altro caso solo f deve essere nulla sul bordo di I.
Ora la domanda è:
Quale dei 2 spazi è la chiusura (ovviamente rispetto alla norma $W^(2,2)$) di $C_0^2(I)$?
E quale (magari anche lo stesso) è la chiusura di $C_0^\infty(I)$?
Un ringraziamento sincero a chi risponderà
e con $W^(2,2)(I)$ lo spazio di Sobolev delle funzioni $f\in L^2(I)$ tali che $f',f''\in L^2(I)$
Ora contenuti in tali spazi ci sono gli spazi noti come $W_0^(1,2)(I)$ e $W_0^(2,2)(I)$
So che $W_0^(1,2)(I)$ posso vederlo in vari modi:
- l'insieme delle funzioni $f\inW^(1,2)(I)$ tali che $f=0$ sul bordo di I
- la chiusura di $C_0^1(I)$ (funzioni a supporto compatto derivabili 1 volta con continuità)
- la chiusura di $C_0^\infty(I)$
Ora il mio problema è $W_0^(2,2)(I)$. So infatti che c'è differenza tra questo spazio e $W^(2,2)(I)nnW_0^(1,2)(I)$
Infatti se $f\inW_0^(2,2)(I)$ allora sia f, sia $f'$ devono essere nulle sul bordo di I; mentre nell'altro caso solo f deve essere nulla sul bordo di I.
Ora la domanda è:
Quale dei 2 spazi è la chiusura (ovviamente rispetto alla norma $W^(2,2)$) di $C_0^2(I)$?
E quale (magari anche lo stesso) è la chiusura di $C_0^\infty(I)$?
Un ringraziamento sincero a chi risponderà
Risposte
Riformulo la domanda con il simbolo $H$ per indicare gli spazi di Sobolev con esponente di sommabilità $2$:
quale tra $H_0^2(I)$ e $H^2(I) nn H_0 ^1 (I)$ è la chiusura in norma $||*||_{2, 2}$ dello spazio $C_0^2(I)$?
Dipende da cosa intendi tu per quel pedice $0$ in $C_0^2$. Se intendi supporto compatto, allora la chiusura $||*||_{2, 2}$ di $C_0^2(I)$ è $H_0^2(I)$, praticamente per definizione: infatti ques'ultimo spazio, per definizione, è la chiusura $||*||_{2, 2}$ di $C_C^infty(I)$, che è chiaramente un sottospazio di $C_0^2(I)$.
quale tra $H_0^2(I)$ e $H^2(I) nn H_0 ^1 (I)$ è la chiusura in norma $||*||_{2, 2}$ dello spazio $C_0^2(I)$?
Dipende da cosa intendi tu per quel pedice $0$ in $C_0^2$. Se intendi supporto compatto, allora la chiusura $||*||_{2, 2}$ di $C_0^2(I)$ è $H_0^2(I)$, praticamente per definizione: infatti ques'ultimo spazio, per definizione, è la chiusura $||*||_{2, 2}$ di $C_C^infty(I)$, che è chiaramente un sottospazio di $C_0^2(I)$.
"dissonance":
Riformulo la domanda con il simbolo $H$ per indicare gli spazi di Sobolev con esponente di sommabilità $2$:
quale tra $H_0^2(I)$ e $H^2(I) nn H_0 ^1 (I)$ è la chiusura in norma $||*||_{2, 2}$ dello spazio $C_0^2(I)$?
Dipende da cosa intendi tu per quel pedice $0$ in $C_0^2$. Se intendi supporto compatto, allora la chiusura $||*||_{2, 2}$ di $C_0^2(I)$ è $H_0^2(I)$, praticamente per definizione: infatti ques'ultimo spazio, per definizione, è la chiusura $||*||_{2, 2}$ di $C_C^infty(I)$, che è chiaramente un sottospazio di $C_0^2(I)$.
Prima di tutto grazie per esserti interessato al mio problema.
Intendo le funzioni a supporto compatto (mi sembra che l'ho scritto da qualche parte...)
Ora tu mi hai detto che per definizione la chiusura $||*||_{2, 2}$ di $C_0^2(I)$ è $H_0^2(I)$.
Ora $C_C^infty(I)$ è un sottospazio di $C_0^2(I)$ e quindi a priori non è detto che la chiusura di un sottospazio coincida con la chiusura dello spazio.
Perciò siamo sicuri che la chiusura di $C_C^infty(I)$ sia $H_0^2(I)$ (cioè funzioni f nulle al bordo con anche $f'$ nulla al bordo) e non invece $H^2(I)nnH_0^1(I)$ (cioè le funzioni f nulle al bordo e basta)??
Non so se capisco il dubbio. Scrivo le definizioni che conosco io:
$H_0^1(I) = \bar{C_C^infty(I)}_{||*||_{1,2}}$, ovvero la chiusura nel senso di $H^1$;
$H_0^2(I)= \bar{C_C^infty(I)}_{||*||_{2,2}}$, ovvero la chiusura nel senso di $H^2$.
Sono due spazi diversi, con l'ovvia inclusione del secondo nel primo. Questa inclusione è propria, anche se in questo momento mi riesce difficile portare un esempio, purtroppo.
Questo risponde al tuo problema?
$H_0^1(I) = \bar{C_C^infty(I)}_{||*||_{1,2}}$, ovvero la chiusura nel senso di $H^1$;
$H_0^2(I)= \bar{C_C^infty(I)}_{||*||_{2,2}}$, ovvero la chiusura nel senso di $H^2$.
Sono due spazi diversi, con l'ovvia inclusione del secondo nel primo. Questa inclusione è propria, anche se in questo momento mi riesce difficile portare un esempio, purtroppo.
Questo risponde al tuo problema?
"dissonance":
Non so se capisco il dubbio. Scrivo le definizioni che conosco io:
$H_0^1(I) = \bar{C_C^infty(I)}_{||*||_{1,2}}$, ovvero la chiusura nel senso di $H^1$;
$H_0^2(I)= \bar{C_C^infty(I)}_{||*||_{2,2}}$, ovvero la chiusura nel senso di $H^2$.
Sono due spazi diversi, con l'ovvia inclusione del secondo nel primo. Questa inclusione è propria, anche se in questo momento mi riesce difficile portare un esempio, purtroppo.
Questo risponde al tuo problema?
A dire la verità no.
So bene che quei 2 spazi sono diversi.
Io però so che il primo che hai scritto può essere definito così come hai fatto tu oppure come la chiusura di $C_C^1(I)$.
Per quanto riguarda il secondo invece io so che la definizione è che esso è la chiusura di $C_C^2(I)$ e non di $C_C^infty(I)$. Mi chiedo se sia la stessa cosa?
E nel caso siano la stessa cosa mi chiedo allora qual'è la differenza tra $H_0^2(I)$ e $H^2(I)nnH_0^1(I)$
Prima domanda: Io credo che siano la stessa cosa.
Seconda domanda: Credo che $H_0^2(I)$ sia contenuto propriamente in $H^2(I) nn H_0^1(I)$.
Entrambi gli spazi richiedono la 2-sommabilità della funzione e delle prime due derivate deboli.
Il primo spazio richiede l'annullamento ai bordi di $I$ della funzione e di tutte le derivate deboli fino alla seconda (vabbé, è improprio, ma tanto per capirci); il secondo spazio invece richiede l'annullamento solo della funzione e della prima derivata debole.
Seconda domanda: Credo che $H_0^2(I)$ sia contenuto propriamente in $H^2(I) nn H_0^1(I)$.
Entrambi gli spazi richiedono la 2-sommabilità della funzione e delle prime due derivate deboli.
Il primo spazio richiede l'annullamento ai bordi di $I$ della funzione e di tutte le derivate deboli fino alla seconda (vabbé, è improprio, ma tanto per capirci); il secondo spazio invece richiede l'annullamento solo della funzione e della prima derivata debole.
Fare la chiusura di $C^2_0$ oppure di $C^{\infty}_0$ nella norma $W^{2,2}$ è la stessa cosa.
Se non ricordo male, $W^{2,2}_0(I)$ è la chiusura di $C_{0}^{\infty}(I)$ nella norma di $W^{2,2}(I)$.
Vedi subito che, se $u$ sta in questa chiusura, allora esiste una successione $u_n\in C_0^{\infty}(I)$ che converge a $u$ nella norma di $W^{2,2}(I)$.
Questo, in particolare, implica che $(u_n)$ e $(u_n')$ convergono uniformemente a $u$ ed $u'$ rispettivamente; da qui deduci che $u$ e $u'$ si annullano sul bordo di $I$.
Se non ricordo male, $W^{2,2}_0(I)$ è la chiusura di $C_{0}^{\infty}(I)$ nella norma di $W^{2,2}(I)$.
Vedi subito che, se $u$ sta in questa chiusura, allora esiste una successione $u_n\in C_0^{\infty}(I)$ che converge a $u$ nella norma di $W^{2,2}(I)$.
Questo, in particolare, implica che $(u_n)$ e $(u_n')$ convergono uniformemente a $u$ ed $u'$ rispettivamente; da qui deduci che $u$ e $u'$ si annullano sul bordo di $I$.
"dissonance":
Prima domanda: Io credo che siano la stessa cosa.
Seconda domanda: Credo che $H_0^2(I)$ sia contenuto propriamente in $H^2(I) nn H_0^1(I)$.
Entrambi gli spazi richiedono la 2-sommabilità della funzione e delle prime due derivate deboli.
Il primo spazio richiede l'annullamento ai bordi di $I$ della funzione e di tutte le derivate deboli fino alla seconda (vabbé, è improprio, ma tanto per capirci); il secondo spazio invece richiede l'annullamento solo della funzione e della prima derivata debole.
Bene.
Questa è la differenza che avevo citato io nel primo post, solo che pensavo che la chiusura di $C_c^2$ e di $C_c^\infty$ fossero diverse e che una delle 2 coincidesse proprio con $H^2(I) nn H_0^1(I)$. Grazie
@Rigel:
Questo, in particolare, implica che (un) e (un') convergono uniformemente a u ed u' rispettivamente; da qui deduci che u e u' si annullano sul bordo di I.
Questa dimostrazione però non mi è molto chiara (e mi rivolgo anche a Dissonance)
Dire che una funzione $u\inC_c^2$ implica che u sia 0 sul bordo (e su questo sono d'accordo). Ma perchè anche $u'$ dovrebbe essere 0 sul bordo?
Diciamo che $I = (a,b)$.
Dire che $u\in C_c^2(I)$ significa che $u\in C^2(I)$, e che esiste $[c,d] \subset (a,b)$ tale che $u=0$ su $(a,c]\cup [d,b)$.
Necessariamente tutte le derivate di $u$ sono nulle su $(a,c)\cup (d,b)$.
Dire che $u\in C_c^2(I)$ significa che $u\in C^2(I)$, e che esiste $[c,d] \subset (a,b)$ tale che $u=0$ su $(a,c]\cup [d,b)$.
Necessariamente tutte le derivate di $u$ sono nulle su $(a,c)\cup (d,b)$.
"Rigel":
Diciamo che $I = (a,b)$.
Dire che $u\in C_c^2(I)$ significa che $u\in C^2(I)$, e che esiste $[c,d] \subset (a,b)$ tale che $u=0$ su $(a,c]\cup [d,b)$.
Necessariamente tutte le derivate di $u$ sono nulle su $(a,c)\cup (d,b)$.
Ma tu prendi I aperto, mentre potrei prendere I chiuso dato che le funzioni negli spazi di Sobolev hanno un rappresentante che è una funzione assolutamente continua sull'intervallo chiuso I
Mah, senti, che io sappia di spazi di Sobolev si parla solo sugli aperti.
Ho dato per scontato che $I$ fosse aperto, visto che gli spazi di Sobolev si definiscono, di norma, su insiemi aperti.
(Personalmente non ho mai visto definizioni di spazi di Sobolev su insiemi non aperti.)
(Personalmente non ho mai visto definizioni di spazi di Sobolev su insiemi non aperti.)
"dissonance":
Mah, senti, che io sappia di spazi di Sobolev si parla solo sugli aperti.
Va bene.
Ma se ho una funzione in uno spazio di Sobolev, che chiamo f, e che quindi è definita sull'aperto I, posso considerare un suo rappresentante continuo $\hat(f)$ che quindi si estende a tutto l'intervallo I chiuso.
Se così non fosse del resto, che senso avrebbe dire che le funzioni di $W_0^(2,2)$ sono nulle sul bordo di I dato che su tale bordo non sarebbero neanche definite?
Se sto sbagliando, come sicuramente è, non capisco dove
Quello che scrivi è corretto.
Tuttavia vedi bene che, quando definisci le funzioni di $H_0^1$, fa differenza pensare $I$ aperto o meno.
In generale tu parti sempre da un aperto $\Omega\subset RR^n$.
Poi, se ti va bene, hai delle immersioni che ti garantiscono che le tue funzioni sono continue sulla chiusura di $\Omega$.
(Ma questo non sempre succede.)
Tuttavia vedi bene che, quando definisci le funzioni di $H_0^1$, fa differenza pensare $I$ aperto o meno.
In generale tu parti sempre da un aperto $\Omega\subset RR^n$.
Poi, se ti va bene, hai delle immersioni che ti garantiscono che le tue funzioni sono continue sulla chiusura di $\Omega$.
(Ma questo non sempre succede.)
Mi è venuta in mente una cosa che forse mi farà capire perchè mi sto sbagliando.
Prendiamo $I=[0,1]$ e prendiamo $f\inC^2(I)$ tale che $f(0)=0=f(1)$.
Allora posso affermare che $C_0^2(I)$ è l'insieme di tali funzioni f oppure no?
E se no qual'è la chiusura di tale spazio di funzioni f rispetto alla norma $H^2$?
Prendiamo $I=[0,1]$ e prendiamo $f\inC^2(I)$ tale che $f(0)=0=f(1)$.
Allora posso affermare che $C_0^2(I)$ è l'insieme di tali funzioni f oppure no?
E se no qual'è la chiusura di tale spazio di funzioni f rispetto alla norma $H^2$?
Direi di sì.
"Rigel":
Direi di sì.
Ma non esistono quindi funzioni $C^2(I)$ con $I=[0,1]$ tali che $f(0)=0=f(1)$ ma $f'(0)!=0$ o $f'(1)!=0$ ??
Certo che esistono.
Dobbiamo forse metterci d'accordo sulle definizioni:
chi è per te $C_0^2([0,1])$?
Dobbiamo forse metterci d'accordo sulle definizioni:
chi è per te $C_0^2([0,1])$?
"Rigel":
Certo che esistono.
Dobbiamo forse metterci d'accordo sulle definizioni:
chi è per te $C_0^2([0,1])$?
Ma se esistono allora la risposta alla mia domanda di prima non è sì.
Cioè l'insieme delle funzioni che ho scritto prima non è $C_0^2([0,1])$
Ripeto, dipende da cosa intendi per $C_0^2([0,1])$.
Def 1: $C_0^2([0,1]) = $ funzioni $u\in C^2([0,1])$ tali che $u(0)=u(1)=0$.
Def 2: $C_0^2([0,1]) = $ funzioni di $C^2([0,1])$ a supporto compatto in $[0,1]$
Def 3: $C_0^2([0,1]) = $ funzioni di $C^2([0,1])$ aventi supporto compatto in $(0,1)$.
Lo spazio della Def. 2 coincide, ovviamente, con $C^2([0,1])$ stesso (quindi non ha molto senso...)
A me sembra che tu usi la Def.1, o sbaglio?
Def 1: $C_0^2([0,1]) = $ funzioni $u\in C^2([0,1])$ tali che $u(0)=u(1)=0$.
Def 2: $C_0^2([0,1]) = $ funzioni di $C^2([0,1])$ a supporto compatto in $[0,1]$
Def 3: $C_0^2([0,1]) = $ funzioni di $C^2([0,1])$ aventi supporto compatto in $(0,1)$.
Lo spazio della Def. 2 coincide, ovviamente, con $C^2([0,1])$ stesso (quindi non ha molto senso...)
A me sembra che tu usi la Def.1, o sbaglio?
"Rigel":
Ripeto, dipende da cosa intendi per $C_0^2([0,1])$.
Def 1: $C_0^2([0,1]) = $ funzioni $u\in C^2([0,1])$ tali che $u(0)=u(1)=0$.
Def 2: $C_0^2([0,1]) = $ funzioni di $C^2([0,1])$ a supporto compatto in $[0,1]$
Def 3: $C_0^2([0,1]) = $ funzioni di $C^2([0,1])$ aventi supporto compatto in $(0,1)$.
Lo spazio della Def. 2 coincide, ovviamente, con $C^2([0,1])$ stesso (quindi non ha molto senso...)
A me sembra che tu usi la Def.1, o sbaglio?
Non lo so.
Ma ci sarà una definizione assunta valida in generale
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