Dubbio spazi di Sobolev

[misanino]

Indico con $W^(1,2)(I)$ lo spazio di Sobolev delle funzioni $f\in L^2(I)$ tali che $f'\in L^2(I)$ dove I è un intervallo di $RR$ diverso da $RR$ stesso
e con $W^(2,2)(I)$ lo spazio di Sobolev delle funzioni $f\in L^2(I)$ tali che $f',f''\in L^2(I)$

Ora contenuti in tali spazi ci sono gli spazi noti come $W_0^(1,2)(I)$ e $W_0^(2,2)(I)$
So che $W_0^(1,2)(I)$ posso vederlo in vari modi:
- l'insieme delle funzioni $f\inW^(1,2)(I)$ tali che $f=0$ sul bordo di I
- la chiusura di $C_0^1(I)$ (funzioni a supporto compatto derivabili 1 volta con continuità)
- la chiusura di $C_0^\infty(I)$

Ora il mio problema è $W_0^(2,2)(I)$. So infatti che c'è differenza tra questo spazio e $W^(2,2)(I)nnW_0^(1,2)(I)$
Infatti se $f\inW_0^(2,2)(I)$ allora sia f, sia $f'$ devono essere nulle sul bordo di I; mentre nell'altro caso solo f deve essere nulla sul bordo di I.
Ora la domanda è:
Quale dei 2 spazi è la chiusura (ovviamente rispetto alla norma $W^(2,2)$) di $C_0^2(I)$?
E quale (magari anche lo stesso) è la chiusura di $C_0^\infty(I)$?

Un ringraziamento sincero a chi risponderà

[Rigel1]

Le definizioni "standard" (per le funzioni continue) sono queste:
se $X$ è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, definisci

$C_c(X) = $ spazio delle funzioni continue su $X$ con supporto compatto in $X$

$C_0(X) = $ spazio delle funzioni continue su $X$ tali che, per ogni $\epsilon >0$, esiste un compatto $K\subset X$ tale che $|f(x)| < \epsilon$ per ogni
$x\in X\setminus K$.

Vedi bene che, se $X$ è compatto, allora i due spazi coincidono con $C(X)$ (lo spazio delle funzioni continue).
Dunque, la definizione più adatta (ma anche la più inutile per i nostri scopi) sarebbe la Def. 2.

(Per questo motivo, quando si parla di spazi di Sobolev, si usano insiemi aperti.)

[misanino]

"Rigel":Le definizioni "standard" (per le funzioni continue) sono queste:
se $X$ è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, definisci

$C_c(X) = $ spazio delle funzioni continue su $X$ con supporto compatto in $X$

$C_0(X) = $ spazio delle funzioni continue su $X$ tali che, per ogni $\epsilon >0$, esiste un compatto $K\subset X$ tale che $|f(x)| < \epsilon$ per ogni
$x\in X\setminus K$.

Vedi bene che, se $X$ è compatto, allora i due spazi coincidono con $C(X)$ (lo spazio delle funzioni continue).
Dunque, la definizione più adatta (ma anche la più inutile per i nostri scopi) sarebbe la Def. 2.

(Per questo motivo, quando si parla di spazi di Sobolev, si usano insiemi aperti.)

Ve bene.
Grazie