Dubbio riguardo la continuità, derivabilità e differenziabil
Non dovete risolverlo ma darmi dei consigli su questo esercizio per capire se sto sbagliando io o è esatto.
Studiare, continuità, derivabilità e differenziabilità in (0,0) della seguente funzione:
$f(x,y)={((x^2*y^2)/(x^2+y^2+(x-y)^2),if x,y!=0,0),(text{1},if x,y=0,0):}$
Spiego il mio metodo di svolgimento.
1) Vedo se è continua quindi faccio il limite per x,y che tendono a 0 e ottengo trasformandolo in coordinate polari 0 che è diverso da 1 quindi non è continua esatto???
2) Se la prima è corretta dovrebbe essere corretta anche questa se non è continua in quel punto non è differenziabile in quel punto esatto????
3) Vedo però se è derivabile e faccio il limite del rapporto incrementale di x e di y ottenendo $-1/h$ in entrambi i casi quindi posso anche dire che non è derivabile esatto????
Grazie in anticipo
Studiare, continuità, derivabilità e differenziabilità in (0,0) della seguente funzione:
$f(x,y)={((x^2*y^2)/(x^2+y^2+(x-y)^2),if x,y!=0,0),(text{1},if x,y=0,0):}$
Spiego il mio metodo di svolgimento.
1) Vedo se è continua quindi faccio il limite per x,y che tendono a 0 e ottengo trasformandolo in coordinate polari 0 che è diverso da 1 quindi non è continua esatto???
2) Se la prima è corretta dovrebbe essere corretta anche questa se non è continua in quel punto non è differenziabile in quel punto esatto????
3) Vedo però se è derivabile e faccio il limite del rapporto incrementale di x e di y ottenendo $-1/h$ in entrambi i casi quindi posso anche dire che non è derivabile esatto????
Grazie in anticipo
Risposte
la teoria (grezzamente) dice:
a- se è derivabile allora è continua
b- se è differenziabile allora è continua
c- se ha derivate parziali continue allora è differenziabile
NON valgono i viceversa.
quindi quanto tu affermi nel punto 2 ("non è continua allora non è differenziabile") non è vero.
1) dando per buono che i calcoli siano giusti, puoi concludere che non è continua in 0.
3) dando per buono che i calcoli siano giusti (io non li ho fatti), si, puoi concludere che non è derivabile lungo x e lungo y.
a- se è derivabile allora è continua
b- se è differenziabile allora è continua
c- se ha derivate parziali continue allora è differenziabile
NON valgono i viceversa.
quindi quanto tu affermi nel punto 2 ("non è continua allora non è differenziabile") non è vero.
1) dando per buono che i calcoli siano giusti, puoi concludere che non è continua in 0.
3) dando per buono che i calcoli siano giusti (io non li ho fatti), si, puoi concludere che non è derivabile lungo x e lungo y.
"Ziel van brand":
a- se è derivabile allora è continua
No, falso. Si consideri $f(x,y)=(xy^2)/(x^2+y^4)$ per $x ne 0$ e $f(0,y)=0$. Essa ammette derivate direzionali (per ogni direzione) in $(0,0)$ ma non è ivi continua.
La tua affermazione è vera solo in dimensione $n=1$.
"Ziel van brand":
quindi quanto tu affermi nel punto 2 ("non è continua allora non è differenziabile") non è vero.
Suggerisco un ripasso di Logica elementare. $p =>q$ equivale a $not q => not p$.
"Ziel van brand":
la teoria (grezzamente) dice:
a- se è derivabile allora è continua
b- se è differenziabile allora è continua
c- se ha derivate parziali continue allora è differenziabile
NON valgono i viceversa.
quindi quanto tu affermi nel punto 2 ("non è continua allora non è differenziabile") non è vero.
1) dando per buono che i calcoli siano giusti, puoi concludere che non è continua in 0.
3) dando per buono che i calcoli siano giusti (io non li ho fatti), si, puoi concludere che non è derivabile lungo x e lungo y.
Scusa mi stai dicendo che se non è continua in un punto può essere differenziabile???
Io sapevo che se f è differenziabile in (x,y) appartenente ad A, allora f è anche continua in (x,y)
Cioò non toglie che deve essere cmq continua in quel punto no?
"Paolo90":
[quote="Ziel van brand"] a- se è derivabile allora è continua
No, falso. Si consideri $f(x,y)=(xy^2)/(x^2+y^4)$ per $x ne 0$ e $f(0,y)=0$. Essa ammette derivate direzionali (per ogni direzione) in $(0,0)$ ma non è ivi continua.
La tua affermazione è vera solo in dimensione $n=1$.[/quote]
è vero, pensavo al caso unidimensionale ._.
"Paolo90":
[quote="Ziel van brand"]quindi quanto tu affermi nel punto 2 ("non è continua allora non è differenziabile") non è vero.
Suggerisco un ripasso di Logica elementare. $p =>q$ equivale a $not q => not p$.[/quote]
la conoscenza della logica c'è, è il cervello che non funziona
scusate l'errore.
"Zaion89":
Scusa mi stai dicendo che se non è continua in un punto può essere differenziabile???
Io sapevo che se f è differenziabile in (x,y) appartenente ad A, allora f è anche continua in (x,y)
Cioò non toglie che deve essere cmq continua in quel punto no?
fingi che non abbia scritto niente prima
vediamo se al secondo tentativo...
- se è differenziabile => è continua
quindi: se non è continua => non può essere differenziabile.
se è continua => boh, potrebbe essere o non essere differenziabile.
in R^n la differenziabilità in qualche modo prende il posto che ha la derivabilità in R^1.
sempre dando per buoni i tuoi calcoli quindi, la tua deduzione al punto 2 è corretta. così come quel che affermi al punto 1.
3 rimane corretta (lì non ho toppato ^^)
Nessun problema, tranquillo, capita a tutti di sbagliare (sapessi cosa riesco a sparare io, certe volte...).
Sono intervenuto perchè volevo evitare di generare confusione in chi ci legge e sta imparando questi concetti.
Sono intervenuto perchè volevo evitare di generare confusione in chi ci legge e sta imparando questi concetti.
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