Dubbio rapido sulle derivate parziali

[Geronimo2]

Ciao a tutti

Il mio dubbio sta nel capire se i seguenti due procedimenti per calcolare le derivate parziali di una funzione $f(x,y)$ in un punto $(x0,y0)$ sono uguali:

1) Seguendo la definizione, quindi andando a calcolare il limite del rapporto incrementale, incrementando una variabile alla volta

2) Nel caso della derivata parziale rispetto x, ad esempio, sostituisco nella funzione generale il valore $y=y0$. Svolgo la derivata "con la tabella delle derivate" avendo ora come unica variabile $x$. Una volta determinata, sostituisco il valore $x=x0$.

In teoria dovrebbero essere identici, dal momento che "la tabella delle derivate" deriva proprio dal limite del rapporto incrementale, tuttavia in questo esercizio (punto b):



se utilizzo il metodo 1) mi viene fuori che la derivata parziale rispetto y non esiste (risulta più o meno infinito), mentre con il metodo 2) la derivata parziale sempre rispetto y mi risulta 0. Qualcuno riesce a spiegarmi dove sbaglio?

Grazie mille

[Geronimo2]

"TeM":Va da sé che nei casi in cui le derivate parziali non risultino
continue nel punto in esame non si possa fare a meno dell'applicazione della definizione andando ad indagare cosa
"accade" nell'intorno di tale punto.

Questo l'ho capito, ma quanto non mi torna è il motivo per cui il metodo (2) da me descritto non funziona. Se io faccio la sostituzione $y=0$ nella mia funzione per studiarla solo al variare di $x$, ottengo:

$f(0,y)= (0+0+y^2)/(0+y^2) = 1$ ,

che è una funzione in una sola variabile ,$y$, seppur poi nella pratica questa si semplifica ottenendo la funzione $f(0,y)=1$.

Derivando parzialmente quest'ultima funzione la derivata parziale risulta $0$ essendo una costante, non che non esiste, come invece accade con il metodo (1), come fatto anche da te. Eppure quanto faccio è usare le regole di derivazione (in questo caso di una costante) che derivano proprio dal rapporto incrementale.

Non capisco questa differenza di risultati e dove sta l'errore di logica e teoria (che certamente da qualche parte sarà).