Dubbio prolungabilità in zero di f(x,y)
$f(x,y)=(x^4+y^5-x^2y^2)/(x^2+y^2)$
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)= ... = lim_(rho->0) rho^2(cos^4theta+sin^5theta-cos^2sin2theta)=0$
adesso per controllare l'uniformità di theta si complicano le cose.... come faccio a dire che il limite è zero o no?
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)= ... = lim_(rho->0) rho^2(cos^4theta+sin^5theta-cos^2sin2theta)=0$
adesso per controllare l'uniformità di theta si complicano le cose.... come faccio a dire che il limite è zero o no?
Risposte
Basta vedere se $cos^4\theta+sin^5\theta-cos^2\theta sin 2\theta \le C$ per una certa $C>0$ ed è finito per il Th dei due carabinieri.
ma c cosa sarebbe?
perchè se avessi $rho(cos^2thetasin^2theta)$ sarebbe zero indipendentemente da theta giusto? ma con quello che ho io effettuando raccoglimenti e sostituzioni ecc arrivo ad avere $rho^2(sin^3theta-sin^2theta)$... però mi sa che per certi theta si annulla... giusto?
perchè se avessi $rho(cos^2thetasin^2theta)$ sarebbe zero indipendentemente da theta giusto? ma con quello che ho io effettuando raccoglimenti e sostituzioni ecc arrivo ad avere $rho^2(sin^3theta-sin^2theta)$... però mi sa che per certi theta si annulla... giusto?
Non deve solo venire come limite una quantità che non dipende a $\theta$, ma il limite deve anche essere uniforme rispetto a $\theta$; un modo usuale per verificare che il limite è uniforme in $\theta$ è quello di riuscire a trovare una funzione $g=g(\rho)$ che tende a $0$ per $\rho \to 0$ tale per cui si ha $|f(\rho,\theta)-L|\le g(\rho)$, dove $L$ è il candidato limite.
ok... 0 è il mio candidato.
ma $rho^2(sin^3theta-sin^2theta)->0$ per $rho->0$ giusto? quindi è uniforme rispetto a theta?
ma $rho^2(sin^3theta-sin^2theta)->0$ per $rho->0$ giusto? quindi è uniforme rispetto a theta?
Metodo alternativo con le maggiorazioni:
$f(x,y)=(x^4+y^5-x^2y^2)/(x^2+y^2) = x^4/(x^2+y^2) + y^5/(x^2+y^2) -(x^2y^2)/(x^2+y^2) $.
$|x^4/(x^2+y^2) + y^5/(x^2+y^2) -(x^2y^2)/(x^2+y^2)| \leq |x^4/(x^2+y^2)| + |y^5/(x^2+y^2)| +|(x^2y^2)/(x^2+y^2)| \leq |x^2(x^2 +y^2)/(x^2+y^2)| + |y^3(y^2 +x^2)/(x^2+y^2)| +|x^2(y^2 +x^2)/(x^2+y^2)| = |x^2| + |y^3| +|x^2| \rarr 0$ quando $(x, y) \rarr (0,0)$
$f(x,y)=(x^4+y^5-x^2y^2)/(x^2+y^2) = x^4/(x^2+y^2) + y^5/(x^2+y^2) -(x^2y^2)/(x^2+y^2) $.
$|x^4/(x^2+y^2) + y^5/(x^2+y^2) -(x^2y^2)/(x^2+y^2)| \leq |x^4/(x^2+y^2)| + |y^5/(x^2+y^2)| +|(x^2y^2)/(x^2+y^2)| \leq |x^2(x^2 +y^2)/(x^2+y^2)| + |y^3(y^2 +x^2)/(x^2+y^2)| +|x^2(y^2 +x^2)/(x^2+y^2)| = |x^2| + |y^3| +|x^2| \rarr 0$ quando $(x, y) \rarr (0,0)$
onesto... grazie... una cosa non mi è chiara... come fai ad ottenere $|x^4/(x^2+y^2)|=|x^2(x^2+y^2)/(x^2+y^2)|$?
...non mi dispiacerebbe però capire come funziona sfruttando l'uniformità di theta
...non mi dispiacerebbe però capire come funziona sfruttando l'uniformità di theta
"Knuckles":
come fai ad ottenere $|x^4/(x^2+y^2)|=|x^2(x^2+y^2)/(x^2+y^2)|$?
Infatti devi mettere la diseguaglianza:
$|x^4/(x^2+y^2)|<=|x^2(x^2+y^2)/(x^2+y^2)|$
I denominatori sono uguali, ma il numeratore del primo membro è minore di quello del secondo.
$x^4<=x^2(x^2+y^2)$ cioè
$x^4<=x^4+x^2y^2$ che è vero perché stiamo dicendo che $x^4$ è minore di se stesso più qualcosa di positivo ($x^2y^2$).
Ciao!
ok grazie:) e con l'uniformità di theta come lo risolvo?
Il modo migliore per dimostrare l'uniformiità rispetto a $\theta$ è trovare una funzione $g$ come dicevo sopra.
potresti farmi un esempio per favore?
Per la funzione del tuo primo post puoi prendere $g(\rho) = 3\rho^2$.
ok... ma perchè proprio quella funzione??
Perchè $|cos^a\thetasin^b\theta| \leq 1$ $\forall a,b \in NN, \theta \in RR$, e perchè il modulo della somma è minore o uguale della somma dei moduli. Prova ad applicare queste due regole alla tua funzione per maggiorarla con quella scritta da gac 
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.
Perché hai [tex]$\cos^4(\theta)+\sin^5(\theta)-\cos^2(\theta)\sin(2\theta)$[/tex]
[tex]$\cos^4(\theta)$[/tex]è minore o uguale a $1$.
[tex]$\sin^5(\theta)$[/tex] è minore o uguale a $1$.
[tex]$-\cos^2(\theta)\sin(2\theta)$[/tex] è minore a $1$ (mai uguale, mi pare pure).
Quindi la somma di queste tre quantità è minore alla somma di 3 volte 1, cioè $3$.
Insomma,
[tex]$[\cos^4(\theta)+\sin^5(\theta)-\cos^2(\theta)\sin(2\theta)]\rho^2<3\rho^2$[/tex]
[tex]$\cos^4(\theta)$[/tex]è minore o uguale a $1$.
[tex]$\sin^5(\theta)$[/tex] è minore o uguale a $1$.
[tex]$-\cos^2(\theta)\sin(2\theta)$[/tex] è minore a $1$ (mai uguale, mi pare pure).
Quindi la somma di queste tre quantità è minore alla somma di 3 volte 1, cioè $3$.
Insomma,
[tex]$[\cos^4(\theta)+\sin^5(\theta)-\cos^2(\theta)\sin(2\theta)]\rho^2<3\rho^2$[/tex]
ok ora si ho capito grazie
ciao ho un altro problema....
Sia $f(x,y)=(x^3+y^3)/(x^2-4y^2)$, mi si chiede sempre se è prolungabile per continuità...
$lim_(x->0) (x^3+m^3x^3)/(x^2-4m^2x^2)=lim_(x->0) (x^3(1+m^3))/(x^2(1-4m^2))=lim_(x->0) (x(1+m^3))/(1-4m^2)= \nexists $ perchè il limite dipende da m... quindi non dovrebbe essere prolungabile.. giusto?
Sia $f(x,y)=(x^3+y^3)/(x^2-4y^2)$, mi si chiede sempre se è prolungabile per continuità...
$lim_(x->0) (x^3+m^3x^3)/(x^2-4m^2x^2)=lim_(x->0) (x^3(1+m^3))/(x^2(1-4m^2))=lim_(x->0) (x(1+m^3))/(1-4m^2)= \nexists $ perchè il limite dipende da m... quindi non dovrebbe essere prolungabile.. giusto?
Il limite che hai scritto vale sempre $0$ (purché $m\ne\pm 1/2$).
La funzione non è definita sulle due rette $x+2y=0$, $x-2y=0$.
E' richiesta la prolungabilità su tutto $RR^2$?
La funzione non è definita sulle due rette $x+2y=0$, $x-2y=0$.
E' richiesta la prolungabilità su tutto $RR^2$?
si...
Sui punti appartenenti alle due rette indicate prima, fuori dall'origine, non è difficile capire se il limite esiste finito.
Nell'origine ci vuole un po' più di lavoro.
Nell'origine ci vuole un po' più di lavoro.
sulle due rette secondo me il limite non esiste, quindi non è prolungabile... ma nell'origine?
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