Dubbio limite $lim_(x->0^+) xe^(1/(6x))

[wello]

Ciao a tutti,

durante lo svolgimento dello studio di funzione $y=xe^(1/(6*x))$, ho incontrato difficoltà nello svolgimento del $lim_(x->0^+) xe^(1/(6x))

Se provo a sostituire esce:

$lim_(x->0^+) xe^(1/(6x))=0^+*e^(1/0^+)=0^+*+oo= f.i.$ e purtroppo non ho idea di come risolverlo.

L'unica cosa che mi è venuta in mente è stata:

$lim_(x->0^+) xe^(1/(6x))=0^+*root(0^+)(e)$ ma che non sarei in grado di risolvere.

Mi potete dare una mano, eventualmente una soluzione passo passo?

Grazie in anticipo a tutti!

[gugo82]

Potresti pensare di scrivere:

$x*e^(1/(6x))=(e^(16*1/x))/(1/x)$

e fare una "coscenziosa" sostituzione di variabile nel limite.

[@melia]

Che ne dici di applicare l'hopital dopo averla trasformata nella forma

$lim_(x->0^+) xe^(1/(6x))=lim_(x->0^+) e^(1/(6x))/(1/x)$?

[wello]

Ciao Gugo e ciao Amelia,

ho provato entrambi i metodi, e volevo chiedervi se potete dirmi se sono corrette le soluzioni a cui sono arrivato grazie a voi

"Metodo" Gugo:

$lim_(x->0^+)x*e^(1/(6x))=e^(1/6*1/x)/(1/x)$

Sostituisco $t=1/x$ con $x=0^+$ quindi $t->+oo$ e limite diventa $lim_(t->+oo)(e^(1/6*t))/(t)=e^(+oo)/(+oo)=+oo$ perchè $e^(+oo)$ tende più velocemente a $oo$ rispetto a $t$

Quindi otteniamo un asintoto verticale $x=0$

"Metodo" Amelia:

$lim_(x->0^+) xe^(1/(6x))=lim_(x->0^+) e^(1/(6x))/(1/x)$

Applicando l'hopital:

$lim_(x->0^+) (e^(1/(6x))*-1/(6x^2))/(-1/x^2)=e^(1/(6x))*1/6=oo/6=oo$


Grazie ancora e buona domenica!

[gugo82]

"wello":"Metodo" Gugo:

$lim_(x->0^+)x*e^(1/(6x))=e^(1/6*1/x)/(1/x)$

Sostituisco $t=1/x$ con $x=0^+$ quindi $t->+oo$ e limite diventa $lim_(t->+oo)(e^(1/6*t))/(t)=e^(+oo)/(+oo)=+oo$ perchè $e^(+oo)$ tende più velocemente a $oo$ rispetto a $t$.

Avresti dovuto scrivere "$e^t$ è un infinito d'ordine superiore a $t$ in $+oo$", ma per il resto tutto bene.
Bravo.


P.S.: Il risultato sarebbe stato più "pulito" se avessi fatto la sostituzione $t=1/(6x)$, però è solo un dettaglio.

[wello]

Perfetto!

Grazie per la correzione!