Dubbio integrale improprio
ciao a tutti! ho un dubbio su un integale inproprio in infinito che ho pensato di risolvere prima con il criterio delconfronto e poi con il criterio del confronto asintotico. ecco l'integrale:
$ int_{2}^{oo}(x^2-2x)/(e^x) $
allora dato che è improprio in infinito, per $ lim_(x -> oo ) $ , l'integrale è $ <= (x^2-2x)/x^4 $ , che a sua volta è asintoticamente equivalente a $ (x^2)/x^4 $ , che è = a 1/x^2 che converge. HO fatto in questo modo perchè l'integrale convergesse, ma sono in dubbio sull'x^4 perchè l'esponenziale va più veloce di tutti e quindi come per x^4 è maggiore anche per X^2 o x^3. allora perchè proprio x^4? se si fa il rapporto per esempio con x^3 verrebbe un integrale divergente..?
$ int_{2}^{oo}(x^2-2x)/(e^x) $
allora dato che è improprio in infinito, per $ lim_(x -> oo ) $ , l'integrale è $ <= (x^2-2x)/x^4 $ , che a sua volta è asintoticamente equivalente a $ (x^2)/x^4 $ , che è = a 1/x^2 che converge. HO fatto in questo modo perchè l'integrale convergesse, ma sono in dubbio sull'x^4 perchè l'esponenziale va più veloce di tutti e quindi come per x^4 è maggiore anche per X^2 o x^3. allora perchè proprio x^4? se si fa il rapporto per esempio con x^3 verrebbe un integrale divergente..?
Risposte
Sì.
Prova.
Prova.
ok. verrebbe divergente. ma allora sarebbe giusto in entrambi i casi? cioè se metto x^3 o x^4? allora potrebbe essere sia divergente che convergente..? è proprio questo che non capisco. come so con quale dei due fare il confronto?
L'idea di fondo del confronto asintotico negli integrali è applicare la seguente relazione:
[tex]$0\leq f(x)\leq g(x) \quad \text{in $[a,b]$} \quad \Rightarrow \quad \int_a^b f(x)\ \text{d} x \leq \int_a^b g(x)\ \text{d} x$[/tex],
che esprime la monotonia dell'integrale rispetto all'integrando, in ogni intervallo finito e poi passare al limite per [tex]$b\to +\infty$[/tex] (ad esempio); in tal modo se l'integrale di [tex]$g$[/tex] converge in [tex]$[a,+\infty[$[/tex], allora anche l'integrale di [tex]$f$[/tex] converge.
Quindi tutto sta a trovare una funzione (definitivamente) maggiorante avente integrale convergente.
Nel tuo caso [tex]$f(x):=\frac{x^2-2x}{e^x}$[/tex] è definitivamente positiva e definitivamente minore di qualunque funzione del tipo [tex]$g_\alpha (x):=\frac{x^2-x}{x^\alpha}$[/tex] con [tex]$\alpha >0$[/tex] (perchè [tex]$e^x$[/tex] è definitivamente maggiore di [tex]$x^\alpha$[/tex] ed [tex]$x^2-2x$[/tex] è definitivamente positiva); ergo basta determinare un [tex]$\alpha >0$[/tex] in modo che [tex]$g_\alpha$[/tex] abbia integrale convergente.
Ma:
[tex]$g_\alpha (x) =\frac{1}{x^{\alpha-2}}\ (1-2\tfrac{1}{x})$[/tex]
e si vede che [tex]$g_\alpha$[/tex] è definitivamente minore di [tex]$h_\alpha (x):=\frac{1}{x^{\alpha -2}}$[/tex], quindi basta determinare [tex]$\alpha >0$[/tex] tale che l'integrale di [tex]$h_\alpha$[/tex] risulti convergente.
Per noti risultati, l'integrale di una funzione del tipo [tex]$h_\alpha$[/tex] è convergente in [tex]$[1,+\infty[$[/tex] solo se [tex]$\alpha-2>1$[/tex], cosicché basta scegliere [tex]$\alpha >3$[/tex] per avere [tex]$\int_1^{+\infty} h_\alpha <+\infty$[/tex] ed a cascata (per il teorema richiamato all'inizio) [tex]$\int_1^{+\infty} g_\alpha <+\infty$[/tex] e [tex]$\int_a^{+\infty} f<+\infty$[/tex].
In particolare tu hai scelto [tex]$\alpha =4$[/tex] e tale scelta ha funzionao perchè [tex]$4>3$[/tex].
Quando hai scelto [tex]$\alpha =2$[/tex], però non sei riuscito a determinare una maggiorante con integrale convergente, quindi non hai potuto usare il teorema.
[tex]$0\leq f(x)\leq g(x) \quad \text{in $[a,b]$} \quad \Rightarrow \quad \int_a^b f(x)\ \text{d} x \leq \int_a^b g(x)\ \text{d} x$[/tex],
che esprime la monotonia dell'integrale rispetto all'integrando, in ogni intervallo finito e poi passare al limite per [tex]$b\to +\infty$[/tex] (ad esempio); in tal modo se l'integrale di [tex]$g$[/tex] converge in [tex]$[a,+\infty[$[/tex], allora anche l'integrale di [tex]$f$[/tex] converge.
Quindi tutto sta a trovare una funzione (definitivamente) maggiorante avente integrale convergente.
Nel tuo caso [tex]$f(x):=\frac{x^2-2x}{e^x}$[/tex] è definitivamente positiva e definitivamente minore di qualunque funzione del tipo [tex]$g_\alpha (x):=\frac{x^2-x}{x^\alpha}$[/tex] con [tex]$\alpha >0$[/tex] (perchè [tex]$e^x$[/tex] è definitivamente maggiore di [tex]$x^\alpha$[/tex] ed [tex]$x^2-2x$[/tex] è definitivamente positiva); ergo basta determinare un [tex]$\alpha >0$[/tex] in modo che [tex]$g_\alpha$[/tex] abbia integrale convergente.
Ma:
[tex]$g_\alpha (x) =\frac{1}{x^{\alpha-2}}\ (1-2\tfrac{1}{x})$[/tex]
e si vede che [tex]$g_\alpha$[/tex] è definitivamente minore di [tex]$h_\alpha (x):=\frac{1}{x^{\alpha -2}}$[/tex], quindi basta determinare [tex]$\alpha >0$[/tex] tale che l'integrale di [tex]$h_\alpha$[/tex] risulti convergente.
Per noti risultati, l'integrale di una funzione del tipo [tex]$h_\alpha$[/tex] è convergente in [tex]$[1,+\infty[$[/tex] solo se [tex]$\alpha-2>1$[/tex], cosicché basta scegliere [tex]$\alpha >3$[/tex] per avere [tex]$\int_1^{+\infty} h_\alpha <+\infty$[/tex] ed a cascata (per il teorema richiamato all'inizio) [tex]$\int_1^{+\infty} g_\alpha <+\infty$[/tex] e [tex]$\int_a^{+\infty} f<+\infty$[/tex].
In particolare tu hai scelto [tex]$\alpha =4$[/tex] e tale scelta ha funzionao perchè [tex]$4>3$[/tex].
Quando hai scelto [tex]$\alpha =2$[/tex], però non sei riuscito a determinare una maggiorante con integrale convergente, quindi non hai potuto usare il teorema.
ti ringrazio! è una spiegazione molto esauriente! ora mi è più chiaro. solo non ho ben capito come hai determinato g(x). hai messo in evidenza x^2 al numeratore e come hai determinato il denominatore? cioè in modo tale che venga alfa-2. ? grazie
!! ok ! ora ho capito tutto! grazie ancora
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