Dubbio integrale doppio

[21zuclo]

Ciao a tutti, mi sono trovato davanti questo integrale doppio, ma ho un dubbio.

Calcolare $ \int_(A)dxdy $
ove $ A=\{(x,y)^t\in RR^2| (x+1)^2+y^2\leq1, x^2+(y+1)^2\leq 1\} $

allora, NON sono passato alle coordinate polari in quanto è l'intersezione tra 2 circonferenze non c'entrate nell'origine.

ho fatto il metodo algebrico, mi sono ricavato le $y$ dalle 2 circonferenze e poi ho metto a sistema le soluzioni

in sostanza ho fatto
$ x^2+(y+1)^2\leq 1 \to (y+1)^2\leq 1-x^2 \to -1-\sqrt(1-x^2)\leq y \leq \sqrt(1-x^2)-1 $

che è verificata solo per $ -1\leq x \leq 1 $

poi ho fatto la stessa ed identica cosa con l'altra circonferenza $ -\sqrt(-x^2-2x)\leq y \leq \sqrt(-x^2-2x) $
ottenendo che è verificata per $ -2\leq x\leq 0 $

mettendo a sistema le 2 soluzioni $ { ( -1\leq x \leq 1 ),( -2\leq x \leq 0 ):} $

si ottiene che $ x\in [-1,0] $

quindi allora la $y$ varia tra i 2 rami delle 2 circonferenze $ y\in [-\sqrt(-x^2-2x),\sqrt(1-x^2)-1] $

quindi imposto l'integrale $ \int_(-1)^(0)dx (\int_(-\sqrt(-x^2-2x))^(\sqrt(1-x^2)-1))dy $

quindi arrivo qui
$ \int_(-1)^(0)\sqrt(1-x^2)-1+\sqrt(-x^2-2x)dx $

quindi ora devo fare 3 integrali. I primi 2 so come trattarli, ma il terzo come faccio?

parlo di questo integrale $ \int_(-1)^(0)\sqrt(-x^2-2x)dx $

ho pensato di fare per parti, ma non so, e non saprei come fare per sostituzione, qualche suggerimento?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao 21zuclo,

Se l'integrale che devi risolvere è quello che hai scritto, puoi risolvere il relativo integrale indefinito osservando che si ha:

$ \int sqrt{- x^2 - 2x} dx = \int sqrt{1 - (x + 1)^2} dx $

Però è più semplice e rapido risolvere direttamente l'integrale definito, infatti ponendo $y = sqrt{- x^2 - 2x} $ ed elevando al quadrato si ottiene $x^2 + y^2 + 2x = 0 $ che è l'equazione di una circonferenza di centro $C(-1,0) $ e raggio $r = 1 $, per cui considerando ovviamente solo la parte positiva si ha:

$ \int_{-1}^{0}\sqrt{-x^2-2x} dx = \pi/4 $

[Lo_zio_Tom]

Senza nulla togliere alla furba osservazione di pilloeffe[nota]l'integrale in questione rappresenta infatti $1/4$ dell'area del cerchio di raggio 1[/nota], vorrei spezzare una lancia a favore delle coordinate polari...

${{: ( (x+1)^2+y^2<1 ),(x^2+(y+1)^2<1 ) :} rarr...rarr {{: ( rho(rho+2costheta)<0 ),(rho(rho+2sentheta)<0 ) :}$

a questo punto osservi che, affinché le due disuguaglianza abbiano senso[nota]altrimenti il sistema non avrebbe soluzione[/nota] deve essere per forza di cose

${{: ( costheta<0 ),( sentheta<0 ) :}rarr pi
e quindi il tuo sistema si riduce a

${{: ( pi
e quindi, in definitiva, per risolvere il tuo integrale ti basta integrare qui

$int_0^(-2sentheta)drho int_pi^(5/4pi)d theta+int_0^(-2costheta)drho int_(5/4 pi)^(3/2pi)d theta$

[21zuclo]

"pilloeffe":

$ \int sqrt{- x^2 - 2x} dx = \int sqrt{1 - (x + 1)^2} dx $

quindi potrei vederlo come $ \int \sqrt(1-(x+1)^2)dx $

e poi fare $ x+1=t \to dx=dt $

e così si ha $ \int \sqrt(1-t^2)dt =... $ che poi so come fare

ps.: tommik mi piace di più la risoluzione algebrica ;D in questo caso ovviamente!

[pilloeffe]

"21zuclo":... che poi so come fare

Beh certo, immagino, ma anche se lo sai fare ti inviterei ad osservare che comunque è sicuramente molto più lungo del calcolo diretto dell'integrale definito...