Dubbio integrabilità ?

[gaetano010]

Potreste farmi un esempio di una funzione che ametta primitiva ma non sia integrabile secondo riemann?
e un 'altra cosa: una funzione che presenta una discontinuità può avere codominio limitato ???

[otta96]

Un controesempio alla prima cosa non è facile, non te ne so fare e interessa anche a me, comunque per la seconda se prendi la funzione caratteristica di $[0,+\infty)$ in $RR$, questa è discontinua in 0, ma il codominio lo puoi prendere $[0,1].$

[Bremen000]

Ciao, per la prima questione, sia

$$ F(x):= \begin{cases} \frac{1}{x^2} \cos(\frac{1}{x^2}) \quad x \ne 0 \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad x=0 \end{cases} $$

e sia $f(x):=F'(x)$. Chiaramente $f$ ammette primitiva ($F$ stessa) ma non è integrabile secondo Riemann (ad esempio in $(-1,1)$) poiché non è limitata.

Per la seconda, non so se ho capito bene cosa intendi ma se prendi la funzione gradino di Heaviside ad esempio...

[otta96]

Ma della prima nemmeno l'integrale improprio converge?

[Bremen000]

Ciao, scusami ma internet non mi andava ieri.

Allora in realtà quella funzione salta fuori dalle mie reminiscenze di analisi I solo e soltanto in relazione alla questione primitiva-integrabilità (classica) secondo Riemann.

A naso ti direi che no, non converge manco quello improprio ma non ho una dimostrazione di questo fatto e gli esami mi impediscono di pensarci (per ora)