Dubbio funzione elementare con esponente non intero.

[elpocholoco-votailprof]

Consideriamo la funzione:
$x^(3/5)<7$
il risultato di questa disequazione è questo: $x<7^(5/3)$
Ora vorrei capire perchè il testo da dove ho preso questo esercizio considera come risultato $[0,7^(5/3[$

Vi ringrazio per le eventuali risposte!

[walter891]

Semplicemente perchè non è possibile elevare ad esponente razionale un numero negativo, quindi devi considerare solo le soluzioni $>0$

[gugo82]

"walter89":Semplicemente perchè non è possibile elevare ad esponente razionale un numero negativo, quindi devi considerare solo le soluzioni $>0$

Non è vero: infatti $(-1)^3=-1$ e $root(5)(-1)=-1$; quindi $(-1)^(3/5)=-1$.

Il problema è che non sempre si ha accordo su com'è definita la potenza ad esponente razionale.
Infatti ci sono due scuole di pensiero:

1. $x^(p/q)$ è definita solo per $x>=0$ se $p/q>0$ [risp. per $x>0$ se $p/q<=0$] (questo discende dal fatto che si pone per definizione $x^(p/q)="e"^(xln(p/q))$): in tal modo si salvano le proprietà formali della potenza, ma si perdono valori del dominio per cui $x^(p/q)$ ha senso (vedi quanto detto in precedenza);

2. $x^(p/q)$ è definita per tutti gli $x$ per i quali ha senso $root(q)(x^p)$ (ad esempio, se $p,q>0$ sono entrambi dispari o pari, oppure se è pari $p$, $x^(p/q)$ è definita su tutto $RR$; mentre se $q$ è pari e $p$ dispari, $x^(p/q)$ è definita solo in $[0,+oo[$...): in tal modo si salvano tutti i valori del dominio "naturale", ma si perdono le proprietà delle potenze, poiché ad esempio $x^(1/2)!=x^(2/4)$ (la prima funzione è definita solo per $x>=0$, mentre la seconda in tutto $RR$).

Si vede che chi ha scritto il libro di esercizi appartiene alla prima scuola di pensiero.