Dubbio esercizio convergenza puntuale
Questa è la successione di funzioni in cui devo vedere se converge puntualmente e uniformemente:
$f_n(x)={(x^4, if |x| < n),(n^4, if |x| >= n):}$
Io ho prima fatto il caso in cui $|x| < n$
$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = x^4$ e quindi converge puntualmente per $f(x) = x^4$
$\lim_{n \to \infty} Sup |f_n(x) - f(x)|= 0$ e quindi converge anche uniformemente.
L'altro caso $|x| >= n$ invece
$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \infty$ e quindi non converge né puntualmente né uniformemente.
L'ho risolto bene? Oppure andava fatto in un altro modo?
$f_n(x)={(x^4, if |x| < n),(n^4, if |x| >= n):}$
Io ho prima fatto il caso in cui $|x| < n$
$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = x^4$ e quindi converge puntualmente per $f(x) = x^4$
$\lim_{n \to \infty} Sup |f_n(x) - f(x)|= 0$ e quindi converge anche uniformemente.
L'altro caso $|x| >= n$ invece
$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \infty$ e quindi non converge né puntualmente né uniformemente.
L'ho risolto bene? Oppure andava fatto in un altro modo?
Risposte
Non sono due casi separati!
Si tratta di un'unica funzione definita con due espressioni diverse su due intervalli diversi. Se aiuta ho disegnato (malissimo) le prime due $ f_n(x) $ per rendere l'idea.
Poi fissa un $ x\inRR $ e considera cosa succede al crescere di n.
Si tratta di un'unica funzione definita con due espressioni diverse su due intervalli diversi. Se aiuta ho disegnato (malissimo) le prime due $ f_n(x) $ per rendere l'idea.
Poi fissa un $ x\inRR $ e considera cosa succede al crescere di n.
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