Dubbio equazione in $CC$

[piergiorgiof1]

Volevo chiedervi se potevate darmi una dritta per risolvere:

$z|z|-2z-i+1=0$

ho scritto che:

$x+iy=(i-1)/(sqrt(x^2+y^2)-2)$

da cui ho ricavato il sistema:

$\{(x(sqrt(x^2+y^2))-2x+1=0) , (y(sqrt(x^2+y^2))-2y-1=0) :}$

e non so più come andare avanti.

Sono sulla strada giusta o conveniva fare qualche altra considerazione? Magari usare la forma esponenziale?
$z|z|$ nei complessi fa qualcosa di noto?

[Rigel1]

Dalla prima equazione vedi subito che deve essere \(x\neq 0\), dalla seconda \(y\neq 0\).
RIcava \(\sqrt{x^2+y^2}\) da entrambe le equazioni e uguaglia ciò che ottieni.

[piergiorgiof1]

$ \{(sqrt(x^2+y^2)=(2x-1)/x) , (sqrt(x^2+y^2)=(2y+1)/y):}$

$(2x-1)/x=(2y+1)/y$

$(2xy-y-2xy-x)/(xy)$

$x=-y$

[Rigel1]

Fino a \(x=-y\) ci sono; non mi torna però la soluzione finale.

[piergiorgiof1]

$x=-y$

$z=(i-1)/(sqrt(x^2+y^2)-2)$

$z=(i-1)/(sqrt(y^2+y^2)-2)$

$z=(i-1)/(sqrt(2y^2)-2)$

e a questo punto di quella y che me ne faccio?

[Rigel1]

Allora: sostituisci \(y = -x\), ad esempio, nella prima equazione. Determini i valori di \(x\) per i quali l'equazione così ottenuta è soddisfatta. Per ciascuno di tali valori \(x\), il numero complesso \(z = x - i x\) (ottenuto ponendo \(y=-x\)) sarà soluzione dell'equazione di partenza.

[piergiorgiof1]

Mi vengono solo soluzioni complesse, sono un po' confuso.
Ricapitolando:

Da $ \{(sqrt(x^2+y^2)=(2x-1)/x) , (sqrt(x^2+y^2)=(2y+1)/y):}$

Abbiamo ottenuto

$y=-x$

$y^2=x^2$

Sostituisco alla prima equazione del sistema $->sqrt(x^2+x^2)=(2x-1)/x$

$sqrt(2)x-(2x-1)/x=0$

$sqrt(2)x^2-2x+1=0$

[Rigel1]

C'è un errore: \(\sqrt{2x^2} = \sqrt{2}\, |x|\). Dovrai poi distinguere i casi \(x > 0\) e \(x < 0\). Ottieni un'equazione di secondo grado che, tutto sommato, non è proibitiva da risolvere...

[piergiorgiof1]

Wow. Faccio sempre questo errore, devo stare più attento. Grazie!