Dubbio equazione differenziale

[84Valery84]

Salve a tutti
sono al mio primo messaggio sul forum.
Innanzi tutto mi scuso se magari ho fatto un post ripetitivo, ma utilizzando la ricerca nel forum non ho trovato ciò di cui avrei bisogno. (sperando di aver utilizzato la ricerca correttamente)

Espongo il mio dubbio:
sono alle prese con le equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee a coeff. costanti e mi sono bloccata al caso in cui il termine noto dell'equazione è una cosa del tipo:

y"+y'= e^x(3cos+senx).

trovate le soluzioni dell'omogenea associata e trovato l'integrale generale, trovo difficoltà nel trovare l'integrale particolare. E precisamente nel capire se utilizzare un integrale in cui compare anche la molteplicità o meno.
c'è una formula particolare per utilizzare l'uno o l'altro? se si, quale?

Spero di esser stata chiara e ringrazio in anticipo chi mi può aiutare.

[raff5184]

"Pandora":Salve a tutti
sono al mio primo messaggio sul forum.
Innanzi tutto mi scuso se magari ho fatto un post ripetitivo, ma utilizzando la ricerca nel forum non ho trovato ciò di cui avrei bisogno. (sperando di aver utilizzato la ricerca correttamente)

Espongo il mio dubbio:
sono alle prese con le equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee a coeff. costanti e mi sono bloccata al caso in cui il termine noto dell'equazione è una cosa del tipo:

y"+y'= e^x(3cos+senx).

trovate le soluzioni dell'omogenea associata e trovato l'integrale generale, trovo difficoltà nel trovare l'integrale particolare. E precisamente nel capire se utilizzare un integrale in cui compare anche la molteplicità o meno.
c'è una formula particolare per utilizzare l'uno o l'altro? se si, quale?

Spero di esser stata chiara e ringrazio in anticipo chi mi può aiutare.

Dipende dal polinomio caratteristico associato.

Se la funzione nota è del tipo: $e^(lambda x)[cosmux+senmux]$
Se tale polinomio $P(lambda+-imu)!=0 $ l'integrale particolare è del tipo $e^(lambda*x)[cosmux+senmux]$

Se $P(lambda+-imu)=0$ e $lambda+-imu$ ha molteplicità h allora l'int particolare è : $x^he^(lambda x)[cosmux+sinmux]$

[84Valery84]

"raff5184":

Dipende dal polinomio caratteristico associato.

Se la funzione nota è del tipo: $e^(lambda x)[cosmux+senmux]$
Se tale polinomio $P(lambda+-imu)!=0 $ l'integrale particolare è del tipo $e^(lambda*x)[cosmux+senmux]$

Se $P(lambda+-imu)=0$ e $lambda+-imu$ ha molteplicità h allora l'int particolare è : $x^he^(lambda x)[cosmux+sinmux]$

quindi nel mio caso sostituisco a lamba, 1 e a mu 1 e dovrei ottenere.... $x^he^(lambda x)[cosmux+sinmux]$ ?

ho capito bene??

[raff5184]

"Pandora":[quote="raff5184"]

Dipende dal polinomio caratteristico associato.

Se la funzione nota è del tipo: $e^(lambda x)[cosmux+senmux]$
Se tale polinomio $P(lambda+-imu)!=0 $ l'integrale particolare è del tipo $e^(lambda*x)[cosmux+senmux]$

Se $P(lambda+-imu)=0$ e $lambda+-imu$ ha molteplicità h allora l'int particolare è : $x^he^(lambda x)[cosmux+sinmux]$

quindi nel mio caso sostituisco a lamba, 1 e a mu 1 e dovrei ottenere.... $x^he^(lambda x)[cosmux+sinmux]$ ?

ho capito bene?? [/quote]

no... Hai ragione non sono stato chiaro con le formule, purtroppo ultimamente ho poco tempo.
Allora il polinomio caratteristico associato all'equazione omogenea nel tuo caso è $t^2+t$. Cosa dobbiamo fare? Dobbiamo verificare se $lambda+-imu$ è una radice di tale polinomio. Quindi sostituiamo o $lambda+imu$ oppure $lambda -imu$ (è sufficiente una delle 2 perché nell'equazione di II grado se un numero complesso è soluzione dell'equzazione anche il suo complesso coniugato lo è). Ora nel tuo caso, come hai ben osservato $lambda =1$ e $mu=1$. Però il problema è che $lambda+-imu$ non è una radice del polinomio, infatti, mettiamo $ (lambda+imu)$ in $t^2+t$ al posto di $t$; si ha: $(1+i)^2+(1+i)=1-1+2i+1+i=3i+1!=0$; ricadiamo nel primo caso che ti avevo indicato per la scelta del polinomio particolare.

Spero di non aver detto cavolate. I ricordi di analisi 2 iniziano ad essere un pò lontani

[84Valery84]

Grazie mille!
sei stato chiarissimo! mi hai chiarito un grosso dubbio!
grazie ancora per la tua disponibilità!

[raff5184]

"Pandora":Grazie mille!
sei stato chiarissimo! mi hai chiarito un grosso dubbio!
grazie ancora per la tua disponibilità!

nulla