Dubbio equazione complessa con forma esponenziale
Salve, in questi giorni mi stavo esercitando sui esercizi con i numeri complessi e mi son imbattuto in una equazione che non riesco a risolvere.
Questo è il testo:
$|z|z^2=-2\barz$
Avevo pensato di risolverlo con la forma trigonometrica: $ z=pe^(iθ)$
Ho riscritto il -2 come: $ w=2e^(i\pi)$
E quindi l'equazione mi veniva: $ p^3e^(2thetai)= 2pe^(i(\pi-theta))$
Ho trovato che una soluzione è p=0 e quindi z=0
Mi rimane $(p^2-2)=0$ per i moduli e quindi p=+-$sqrt(2)$
mentre per l'argomento ho ottenuto $3theta=pi+2kpi $
Il mio dubbio riguardava adesso l'argomento: come capisco quante soluzioni devo calcolare?
Devo continuare a sommare il $ 2kpi$ a $pi$ fino al punto in cui la somma sarà maggiore di $2kpi$ e quindi uscirà dall'intervallo che stiamo studiando di $[0,2kpi]$ o esiste un altra maniera?
Questo è il testo:
$|z|z^2=-2\barz$
Avevo pensato di risolverlo con la forma trigonometrica: $ z=pe^(iθ)$
Ho riscritto il -2 come: $ w=2e^(i\pi)$
E quindi l'equazione mi veniva: $ p^3e^(2thetai)= 2pe^(i(\pi-theta))$
Ho trovato che una soluzione è p=0 e quindi z=0
Mi rimane $(p^2-2)=0$ per i moduli e quindi p=+-$sqrt(2)$
mentre per l'argomento ho ottenuto $3theta=pi+2kpi $
Il mio dubbio riguardava adesso l'argomento: come capisco quante soluzioni devo calcolare?
Devo continuare a sommare il $ 2kpi$ a $pi$ fino al punto in cui la somma sarà maggiore di $2kpi$ e quindi uscirà dall'intervallo che stiamo studiando di $[0,2kpi]$ o esiste un altra maniera?
Risposte
Ciao Pierm6158,
Benvenuto sul forum!
Beh, che una soluzione sia $z = 0 $ lo si poteva vedere immediatamente già dal testo dell'esercizio...
Attenzione che $p $ (anche se sarebbe meglio scrivere $\rho$) è una quantità sempre positiva o al più nulla, quindi l'unica soluzione accettabile è $p = \sqrt2$
Giusto, quindi
$\theta = (2k + 1)\pi/3 $
ove $k = 0, 1, 2 $.
Per $k = 0 $ si ha $z_1 = \sqrt2 e^{i\pi/3} = \sqrt2 [cos(\pi/3) + i sin(\pi/3)] = \sqrt2 [1/2 + i sqrt3/2] = \frac{1 + i\sqrt3}{\sqrt2}$
Per $k = 1 $ si ha $z_2 = \sqrt2 e^{i\pi} = \sqrt2 [cos(\pi) + i sin(\pi)] = \sqrt2 [- 1 + 0] = - \sqrt2 $
Per $k = 2 $ si ha $z_3 = \sqrt2 e^{i (5\pi)/3} = \sqrt2 [cos((5\pi)/3) + i sin((5\pi)/3)] = \sqrt2 [1/2 - i sqrt3/2] = \frac{1 - i\sqrt3}{\sqrt2}$
In definitiva l'equazione complessa proposta ha le due soluzioni reali $z_0 = 0 $ e $z_2 = - \sqrt2 $ e le due soluzioni complesse coniugate $z_{1,3} = \frac{1 \pm i\sqrt3}{\sqrt2}$
Benvenuto sul forum!
"Pierm6158":
Ho trovato che una soluzione è p=0 e quindi z=0
Beh, che una soluzione sia $z = 0 $ lo si poteva vedere immediatamente già dal testo dell'esercizio...
"Pierm6158":
Mi rimane $(p^2−2)=0$ per i moduli e quindi p=+-$\sqrt2 $
Attenzione che $p $ (anche se sarebbe meglio scrivere $\rho$) è una quantità sempre positiva o al più nulla, quindi l'unica soluzione accettabile è $p = \sqrt2$
"Pierm6158":
mentre per l'argomento ho ottenuto $3\theta=\pi+2k\pi $
Giusto, quindi
$\theta = (2k + 1)\pi/3 $
ove $k = 0, 1, 2 $.
Per $k = 0 $ si ha $z_1 = \sqrt2 e^{i\pi/3} = \sqrt2 [cos(\pi/3) + i sin(\pi/3)] = \sqrt2 [1/2 + i sqrt3/2] = \frac{1 + i\sqrt3}{\sqrt2}$
Per $k = 1 $ si ha $z_2 = \sqrt2 e^{i\pi} = \sqrt2 [cos(\pi) + i sin(\pi)] = \sqrt2 [- 1 + 0] = - \sqrt2 $
Per $k = 2 $ si ha $z_3 = \sqrt2 e^{i (5\pi)/3} = \sqrt2 [cos((5\pi)/3) + i sin((5\pi)/3)] = \sqrt2 [1/2 - i sqrt3/2] = \frac{1 - i\sqrt3}{\sqrt2}$
In definitiva l'equazione complessa proposta ha le due soluzioni reali $z_0 = 0 $ e $z_2 = - \sqrt2 $ e le due soluzioni complesse coniugate $z_{1,3} = \frac{1 \pm i\sqrt3}{\sqrt2}$
Grazie mille per la risposta.
Mi ero completamente scordato che $\rho dovesse essere positiva e continuavo a fare calcoli anche con la radice negativa arrivando sempre a soluzioni sbagliate.
Mi ero completamente scordato che $\rho dovesse essere positiva e continuavo a fare calcoli anche con la radice negativa arrivando sempre a soluzioni sbagliate.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo