Dubbio dimostrazione teorema Weierstrass
Salve, riporto qui il teorema di Weierstrass: "una funzione continua in un insieme E compatto ha massimo e minimo".
Allora, il mio dubbio riguarda questa parte della dimostrazione: "Sia $M$ l'estremo superiore della funzione $f$ in $E$, e sia $\lambda\lambda$. In particolare, se prendiamo $\lambda= 1 -1/n$, troveremo una successione $x$[size=70]$n$[/size]$$ con $M-1/n
Spero che il mio dubbio sia chiaro. Ringrazio in anticipo per le risposte.
Allora, il mio dubbio riguarda questa parte della dimostrazione: "Sia $M$ l'estremo superiore della funzione $f$ in $E$, e sia $\lambda
Spero che il mio dubbio sia chiaro. Ringrazio in anticipo per le risposte.
Risposte
È la funzione $s:NN to RR$ definita da $s(n)=x_n$.
Perdonami penso di non aver capito.
Per ogni $n$ esiste un $x_n$ con le proprietà che hai detto. Ora gli $x_n$ formano una successione. Non capisco cosa non capisci.
"Martino":
Per ogni $n$ esiste un $x_n$ con le proprietà che hai detto. Ora gli $x_n$ formano una successione. Non capisco cosa non capisci.
Probabilmente, Borraccia si aspetta una "formuletta" esplicita (tipo $x_n = 2/(sin(n)) (sqrt(n^2 + e^n) - log(n^3 + 3/pi))$)... Invece in generale no, questa cosa non è possibile.
Per istituire una qualsiasi funzione basta sapere che per ogni fissato elemento del dominio (in questo caso $NN$) esiste un unico elemento del codominio (in questo caso l'intervallo $E$) che è associato all'elemento del dominio fissato in precedenza; insomma, non importa il "quale" è la corrispondenza (cioè la "formuletta" esplicita), ma importa solo che essa "c'è".
Ciao! Anzitutto penso tu volessi scrivere $\lambda = M - 1/n$, altrimenti stai implicitamente supponendo che il sup sia $1$.
Inoltre, forse tu ti focalizzi sul fatto che le successioni che hai visto fino ad ora hanno quasi tutte una formulazione chiusa, ad esempio prendendo $x_n = n^2$ e cose simili, tuttavia non è necessario dare una formula esplicita per avere una successione.
Proviamo a riflettere insieme:
se prendo $n = 1$, allora $\lambda = M - 1$ e trovo $x_1$ tale che $M-1 \le f(x_1) \le M$; tale $x_1$ sarà il primo elemento della successione.
Poi passo a $n = 2$, dunque $\lambda = M - 1/2$ e trovo $x_2$ tale che $M - 1/2 \le f(x_2) \le M$; tale $x_2$ sarà il secondo elemento della successione.
Continuo così per $n = 3,4,5...$ e trovo per ogni $n$ un elemento $x_n$ della successione.
Ho dunque costruito una funzione $s: \NN \to \RR$ tale che, scelto $n \in \NN$, $s(n) = x_n$, dove $x_n$ è un elemento tale che $M- 1/n \le f(x_n) \le M$, preso tramite l'assioma di scelta come sopra nei casi $n = 1,2$.
E' più chiaro ora?
Inoltre, forse tu ti focalizzi sul fatto che le successioni che hai visto fino ad ora hanno quasi tutte una formulazione chiusa, ad esempio prendendo $x_n = n^2$ e cose simili, tuttavia non è necessario dare una formula esplicita per avere una successione.
Proviamo a riflettere insieme:
se prendo $n = 1$, allora $\lambda = M - 1$ e trovo $x_1$ tale che $M-1 \le f(x_1) \le M$; tale $x_1$ sarà il primo elemento della successione.
Poi passo a $n = 2$, dunque $\lambda = M - 1/2$ e trovo $x_2$ tale che $M - 1/2 \le f(x_2) \le M$; tale $x_2$ sarà il secondo elemento della successione.
Continuo così per $n = 3,4,5...$ e trovo per ogni $n$ un elemento $x_n$ della successione.
Ho dunque costruito una funzione $s: \NN \to \RR$ tale che, scelto $n \in \NN$, $s(n) = x_n$, dove $x_n$ è un elemento tale che $M- 1/n \le f(x_n) \le M$, preso tramite l'assioma di scelta come sopra nei casi $n = 1,2$.
E' più chiaro ora?
"Lebesgue":Confermo, errore mio.
Ciao! Anzitutto penso tu volessi scrivere $\lambda = M - 1/n$, altrimenti stai implicitamente supponendo che il sup sia $1$.
Anzitutto ringrazio tutti per le gentili risposte.
Allora, ricapitolando, nel momento in cui definisco una funzione, oltre che specificare dominio e codominio, devo necessariamente definire anche la sua "regola" o proprietà. Nel caso della funzione $s(n)$ però non riesco ad esplicitare la sua proprietà, ciononostante posso definire comunque la funzione $s(n)$.
Ma allora come faccio a sapere che tale proprietà esiste? Chiedo perchè "l'idea" di associare a ciascun $n$ un solo $x$[size=65]$n$[/size]$$ mi è chiara ma mi pare diciamo poco "formale", per lo più intuitiva. Spero di essere stato chiaro.
Una funzione non è una "regola" né una "proprietà".
Che cos'è una funzione? Prova a rispondere prima di continuare a leggere. Se la tua risposta comincia con "una funzione è una regola ..." ti fermo subito: no, una funzione non è una regola.
Una funzione di dominio $D$ e codominio $C$ è un sottoinsieme $F$ del prodotto cartesiano $D xx C$ con le seguenti due proprietà:
(1) Per ogni $d in D$ esiste $(x,y) in F$ tale che $x=d$.
(2) Per ogni $d in D$, e per ogni $y_1,y_2 in C$, se $(d,y_1),(d,y_2)$ sono entrambi in $F$ allora $y_1=y_2$.
Di solito, invece di scrivere "$(x,y) in F$", si scrive "$y=F(x)$". Questo ha senso grazie all'assioma (2). Ma è solo una questione notazionale.
Nel tuo caso, $D=NN$, $C=RR$ e $F={(n,x_n)\ |\ n in NN}$.
Che cos'è una funzione? Prova a rispondere prima di continuare a leggere. Se la tua risposta comincia con "una funzione è una regola ..." ti fermo subito: no, una funzione non è una regola.
Una funzione di dominio $D$ e codominio $C$ è un sottoinsieme $F$ del prodotto cartesiano $D xx C$ con le seguenti due proprietà:
(1) Per ogni $d in D$ esiste $(x,y) in F$ tale che $x=d$.
(2) Per ogni $d in D$, e per ogni $y_1,y_2 in C$, se $(d,y_1),(d,y_2)$ sono entrambi in $F$ allora $y_1=y_2$.
Di solito, invece di scrivere "$(x,y) in F$", si scrive "$y=F(x)$". Questo ha senso grazie all'assioma (2). Ma è solo una questione notazionale.
Nel tuo caso, $D=NN$, $C=RR$ e $F={(n,x_n)\ |\ n in NN}$.
Ho infine capito. Grazie a tutti per la disponibilità e per la gentilezza.
"Borraccia":
Chiedo perchè "l'idea" di associare a ciascun $n$ un solo $x$[size=65]$n$[/size]$$ mi è chiara ma mi pare diciamo poco "formale", per lo più intuitiva.
Ti faccio una domanda: se io ti avessi definito la stessa identica successione $s(n)$ in questi termini:
$\forall n \in \NN \ \exists x_n \in \RR $ t.c. $M - 1/n \le f(x_n) \le M$
avresti comunque detto che era una cosa definita "intuitivamente?" Oppure (come penso), avendo visto tutto questo simbolismo, avresti detto "ah vabe allora così è proprio rigoroso".
Nel caso la risposta sia la seconda, beh ti invito a riflettere sulla differenza tra la definizione scritta "in italiano" che ti ho dato nell'altra risposta e quella scritta "in matematichese" con tutti i quantificatori.
P.S: ci tengo anche a sottolineare il fatto che pensare che "una funzione sia la sua espressione" è un errore molto comune, e che la società matematica stessa ci ha messo secoli prima di dare una definizione formale e rigorosa di funzione, come un opportuno sottoinsieme di un certo prodotto cartesiano.
Basti pensare che per Eulero (e quindi non stiamo parlando del primo fesso che ci capita), le funzioni definite a tratti, non erano effettivamente funzioni, poiché composte da più espressioni diverse. Inoltre sicuramente le nozioni delle scuole superiori NON aiutano a capire il vero concetto di funzione, anzi alimentando questa falsa credenza che poi si sparge a macchia d'olio.
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