Dubbio dimostrazione Criterio di Leibniz (serie)
Salve ragazzi, ho un dubbio sulla dimostrazione del Criterio di Leibniz.
Sto seguendo la dimostrazione proposta dal Giusti che potete trovare a questa pagina:
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Leibniz
La dimostrazione così svolta ovviamente non pecca, ma da una mezz'oretta mi affligge un dubbio
:
Abbiamo dimostrato che le due serie parziali con indici pari e dispari sono rispettivamente decrescente e crescente, entrambe limitate.
Questo implica che il limite delle due somme parziali esista, e che le due serie associate dunque convergano a questi due limiti.
Siano $s_p$, $s_d$ le due somme parziali (rispettivamente indici pari e dispari) per le quali, come dicevo, esistono:
$lim_p s_p = P $ e $lim_d s_d = D$
Viene dimostrato che $D=P$ mediante l'ipotesi (limite successione associata tende a 0).
Successivamente il Giusti applica la definizione di limite alla successione ottenuta unendo le due sottosuccessioni e verifica il limite della serie con segno alternato per P=D.
Pensavo, dal momento che le serie convergenti formano uno spazio vettoriale per cui vale:
Date due serie qualsiasi $ sum_k (a_k) $ e $sum_k (b_k)$ convergenti rispettivamente ad A e B $sum_k (a_k + b_k) = A+B$
Dal momento che la serie con segno alternato in oggetto è così formata $ s=(s_0 + s_2 + s_4 + ..) - (s_1 + s_3 + s_4 + ..) => sum_k ((-1)^k *a_k)) = sum_p (a_p) - sum_d (a_d) $
Entrambe serie, come dimostrato, convergenti a $ P=D $
Una qualunque serie di segno alternato conv non dovrebbe convergere a 0 (cosa ovviamente impossibile)?
Cosa sbaglio?
Sto seguendo la dimostrazione proposta dal Giusti che potete trovare a questa pagina:
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Leibniz
La dimostrazione così svolta ovviamente non pecca, ma da una mezz'oretta mi affligge un dubbio
:Abbiamo dimostrato che le due serie parziali con indici pari e dispari sono rispettivamente decrescente e crescente, entrambe limitate.
Questo implica che il limite delle due somme parziali esista, e che le due serie associate dunque convergano a questi due limiti.
Siano $s_p$, $s_d$ le due somme parziali (rispettivamente indici pari e dispari) per le quali, come dicevo, esistono:
$lim_p s_p = P $ e $lim_d s_d = D$
Viene dimostrato che $D=P$ mediante l'ipotesi (limite successione associata tende a 0).
Successivamente il Giusti applica la definizione di limite alla successione ottenuta unendo le due sottosuccessioni e verifica il limite della serie con segno alternato per P=D.
Pensavo, dal momento che le serie convergenti formano uno spazio vettoriale per cui vale:
Date due serie qualsiasi $ sum_k (a_k) $ e $sum_k (b_k)$ convergenti rispettivamente ad A e B $sum_k (a_k + b_k) = A+B$
Dal momento che la serie con segno alternato in oggetto è così formata $ s=(s_0 + s_2 + s_4 + ..) - (s_1 + s_3 + s_4 + ..) => sum_k ((-1)^k *a_k)) = sum_p (a_p) - sum_d (a_d) $
Entrambe serie, come dimostrato, convergenti a $ P=D $
Una qualunque serie di segno alternato conv non dovrebbe convergere a 0 (cosa ovviamente impossibile)?
Cosa sbaglio?
Risposte
Sbagli perché $s_p=s_1+s_2+s_3+...+s_p$ per ogni numero pari $p$ (e analogamente $s_d$)
tu invece scrivi $s_p=s_2+s_4+s_6+...+s_p$, cioè sommi solo gli indici pari.
tu invece scrivi $s_p=s_2+s_4+s_6+...+s_p$, cioè sommi solo gli indici pari.
Perfetto, grazie Dissonance 
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Non è affatto vero che [tex]$s_p=\sum_{n=1}^{p-1} s_n$[/tex] (altrimenti sommerei [tex]$p-1$[/tex] volte il primo addendo [tex]$a_1$[/tex], [tex]$p-2$[/tex] volte [tex]$a_2$[/tex], etc...); bensì [tex]$s_p=s_{p-1} +(-1)^p a_p$[/tex], come ogni somma parziale che si rispetti.
Occhio alle notazioni.
Occhio alle notazioni.
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