Dubbio dimostrazione criterio convergenza Cauchy
Ciao a tutti non riesco a capire una cosa sul criterio di di convergenza di Cauchy
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_d ... _di_Cauchy
qui in questo link c'è subito la dimostrazione del fatto che se una successione è convergente è di Cauchy...
quello che non riesco a capire e che dicono Poiché 2epsilon è "piccolo a piacere", ne segue che {an} è una successione di Cauchy. Ma non ci doveva essere epsilon ? e non due epsilon? perchè se c'è due epsilon affinche la disuguaglianza sia vera dovro' prendere solo tutti gli epsilon/2 e non tutti gli epsilon affinchè sia vera... .infatti :
d(Xm,Xn) < 2epsilon/2 semplificando il 2 si ottiene d(Xm, Xn) < epsilon
ma per la definizione di Cauchi d(Xn, Xm)< epsilon per tutti gli epsilon e non solo per tutti gli epsilon mezzi ...questo non riesco a capire...
GRAZIEE A TUTTI PER LE RISPOSTEE
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_d ... _di_Cauchy
qui in questo link c'è subito la dimostrazione del fatto che se una successione è convergente è di Cauchy...
quello che non riesco a capire e che dicono Poiché 2epsilon è "piccolo a piacere", ne segue che {an} è una successione di Cauchy. Ma non ci doveva essere epsilon ? e non due epsilon? perchè se c'è due epsilon affinche la disuguaglianza sia vera dovro' prendere solo tutti gli epsilon/2 e non tutti gli epsilon affinchè sia vera... .infatti :
d(Xm,Xn) < 2epsilon/2 semplificando il 2 si ottiene d(Xm, Xn) < epsilon
ma per la definizione di Cauchi d(Xn, Xm)< epsilon per tutti gli epsilon e non solo per tutti gli epsilon mezzi ...questo non riesco a capire...
GRAZIEE A TUTTI PER LE RISPOSTEE
Risposte
Non attaccarti troppo a come una definizione è scritta, ma piuttosto al suo significato.
E' facile intuire che
"$\epsilon$ è piccolo a piacere" è affermazione logicamente equivalente a "$2\epsilon$ è piccolo a piacere".
Nelle definizioni di limite, successione di Cauchy, ecc. la cosa importante è che scelto un numero piccolo a piacere (di solito denotato con $\epsilon$ ma posso anche denotarlo con $10000\delta$ o qualunque altra cosa!) succede qualcosa.
Paola
E' facile intuire che
"$\epsilon$ è piccolo a piacere" è affermazione logicamente equivalente a "$2\epsilon$ è piccolo a piacere".
Nelle definizioni di limite, successione di Cauchy, ecc. la cosa importante è che scelto un numero piccolo a piacere (di solito denotato con $\epsilon$ ma posso anche denotarlo con $10000\delta$ o qualunque altra cosa!) succede qualcosa.
Paola
ah quindi se anche fosse venuto d(Xn,Xm)< ER ed ER era piccolo allora quella era una successione di Cauchy....xke ER e' piccolo ! giusto ?
Esatto! L'importante è che riesci a dimostrare che $X_n$ e $X_m$ sono "vicini" cioè $|X_n - X_m|$ è piccolo.
(cioè piccolo quanto vuoi da un certo $N$ in poi)
Paola
(cioè piccolo quanto vuoi da un certo $N$ in poi)
Paola
ho capitoooooo grandeeeee !! e grazieee 
:):):) !!
Adesso vedo sul mio quaderno un strano simbolo...dato che siamo qua ti chiedo gentilmente se sai cosa vuol dire...xd
c'è questo esercizio che dice DImostrare che se (X,d) è uno spazio metrico con #x< $prop$ allora è completo. ma cosa vuol dire con questo asterisco...e con l'infito?
#x< $prop$ ?????
:):):) !! Adesso vedo sul mio quaderno un strano simbolo...dato che siamo qua ti chiedo gentilmente se sai cosa vuol dire...xd
c'è questo esercizio che dice DImostrare che se (X,d) è uno spazio metrico con #x< $prop$ allora è completo. ma cosa vuol dire con questo asterisco...e con l'infito?
#x< $prop$ ?????
Credo significhi che $X$ ha cardinalità finita.
Paola
Paola
perchè con l'asterisco il prof intendeva il numero di elementi...ma cardinalità finita vuol dire che ha un numero di elementi finiti quindi ?
Sì ha un numero finito di elementi.
Paola
Paola
ok ...pero' si dice che Q è completo...ma Q ha infiniti elementi! quindi penso si intenda qualche sottoinsieme di Q...diciamo
Non è che un insieme completo debba avere cardinalità finita, questo è super falso.
L'esercizio ti chiede di partire da uno spazio metrico con finiti elementi e dimostrare che questo è necessariamente completo.
Paola
L'esercizio ti chiede di partire da uno spazio metrico con finiti elementi e dimostrare che questo è necessariamente completo.
Paola
ahhh giusto ! menomale che c'eri tu qui io ho provato a fare l'esercizio ma ...non so se è giusto....
io ho preso una successione di Cauchy d(Xn,Xm) < E dove E piccolo
poi la tesi : d(Xn, elemento1) < E
d(Xm,elemento1)< E
ho utilizzato la triangolare
d(Xn,Xm) < d(Xm,elemento1)+d(Xn,elemento 1 )
ma d(Xm,elemento1)+d(Xn,elemento 1 ) = E perchè d(Xn,Xm) < E
d(Xn,Xm) < E quindi segue che d(Xm, elemento1 ) < E d(Xm, elemento1 ) < E
ma mi sembra tirata per i capelli...e non so se e' giusta
menomale che c'eri tu qui io ho provato a fare l'esercizio ma ...non so se è giusto....io ho preso una successione di Cauchy d(Xn,Xm) < E dove E piccolo
poi la tesi : d(Xn, elemento1) < E
d(Xm,elemento1)< E
ho utilizzato la triangolare
d(Xn,Xm) < d(Xm,elemento1)+d(Xn,elemento 1 )
ma d(Xm,elemento1)+d(Xn,elemento 1 ) = E perchè d(Xn,Xm) < E
d(Xn,Xm) < E quindi segue che d(Xm, elemento1 ) < E d(Xm, elemento1 ) < E
ma mi sembra tirata per i capelli...e non so se e' giusta
Ti prego di utilizzare le formule (vedi topic apposito) e un po' più di formalismo, così fatico a capire. Vedo comunque un grosso errore concettuale, dove affermi che ( chiamo $x$ l'elemento1) $d(X_n,x)+d(X_m, x)=E$. Non è assolutamente vero! Nella tua logica avresti:
$5< 10$ e $5<5+1$ implica $10=5+1$?!
Io ti consiglio di partire così: l'insieme $X$ ha cardinalità finita, diciamo $n$. Lo possiamo allora scrivere come $\{ x_1,...,x_n\}$. Si prenda una successione di Cauchy $\{a_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ in $X$. Vogliamo dimostrare che necessariamente esiste un elemento $x_i \in X$ (per un certo $i\in\{1,...,n\}$) a cui la successione converge. Prova a proseguire tu.
Paola
$5< 10$ e $5<5+1$ implica $10=5+1$?!
Io ti consiglio di partire così: l'insieme $X$ ha cardinalità finita, diciamo $n$. Lo possiamo allora scrivere come $\{ x_1,...,x_n\}$. Si prenda una successione di Cauchy $\{a_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ in $X$. Vogliamo dimostrare che necessariamente esiste un elemento $x_i \in X$ (per un certo $i\in\{1,...,n\}$) a cui la successione converge. Prova a proseguire tu.
Paola
la successione che tu hai scritto la scrivo in un altro modo ( ho provato sul foglio a scriverla cosi ) $ { X_n}_(ninN) $
visto che è di Cauchy per ogni $ epsilon > 0 $ E $ N_epsilon$ t.c. $ n,m> N_epsilon$ $ rArr$ $ d( X_n , X_m) < epsilon $
suppongo che esiste $\lim_{n \to \infty}x_n = x_i$ con $ x_i in X$
se esiste questo allora $ d ( X_n, x_i) < epsilon $ e $ d( X_m, x_i) < epsilon $
posso usare la triangolare quindi $d( X_n , X_m) <= d( X_n , x_i ) + d( X_m , x_i ) $
da qui....non riesco ad andare avanti
se riesci a darmi qualche spunto...
visto che è di Cauchy per ogni $ epsilon > 0 $ E $ N_epsilon$ t.c. $ n,m> N_epsilon$ $ rArr$ $ d( X_n , X_m) < epsilon $
suppongo che esiste $\lim_{n \to \infty}x_n = x_i$ con $ x_i in X$
se esiste questo allora $ d ( X_n, x_i) < epsilon $ e $ d( X_m, x_i) < epsilon $
posso usare la triangolare quindi $d( X_n , X_m) <= d( X_n , x_i ) + d( X_m , x_i ) $
da qui....non riesco ad andare avanti
se riesci a darmi qualche spunto...
Non devi supporlo, devi provarlo. Sono due cose concettualmente diverse!
Il punto chiave è il fatto che ogni successione di Cauchy in uno spazio metrico finito deve necessariamente fissarsi su un punto da un certo $N$ in poi. Se provi questo quel punto sarà chiaramente il limite.
Paola
Il punto chiave è il fatto che ogni successione di Cauchy in uno spazio metrico finito deve necessariamente fissarsi su un punto da un certo $N$ in poi. Se provi questo quel punto sarà chiaramente il limite.
Paola
ok...ma da dove devo partire...per provarlo? parto $d(X_n, X_m )< epsilon$?
Se $X$ ha $n$ elementi $x_1,...x_n$, allora avrai un numero finito di distanze $0
Paola
Paola
se scelgo $ epsilon < d $ vuol dire che a questo punto coincidono i due elementi no ?
Esatto. Questo per tutti gli elementi da un certo $N_\epsilon$ in poi. Quindi la successione si fisserà su un certo punto di $X$ (dato che la successione per ipotesi stava in $X$), diciamo $x_i$ con $i$ fissato. Da qui dimostrare che $x_i$ è il limite della successione è banale.
Paola
Paola
ok adesso ci rifletto un attimo...ma questa successione sara' per forza una successione con tutti gli elementi di X oppure alcuni ?
Anche solo alcuni, scusa... basta pensare ad una successione che ripete infinite volte un solo punto.
Paola
Paola
si giusto...cavoli...! prima che rifletta su tutto ma... quindi questo $ epsilon $ non e' costante ? , cioè la distanza tra i vari termini della successione cambia ...e ci sara' appunto un minimo...
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