Dubbio dimostrazione criterio convergenza Cauchy
Ciao a tutti non riesco a capire una cosa sul criterio di di convergenza di Cauchy
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_d ... _di_Cauchy
qui in questo link c'è subito la dimostrazione del fatto che se una successione è convergente è di Cauchy...
quello che non riesco a capire e che dicono Poiché 2epsilon è "piccolo a piacere", ne segue che {an} è una successione di Cauchy. Ma non ci doveva essere epsilon ? e non due epsilon? perchè se c'è due epsilon affinche la disuguaglianza sia vera dovro' prendere solo tutti gli epsilon/2 e non tutti gli epsilon affinchè sia vera... .infatti :
d(Xm,Xn) < 2epsilon/2 semplificando il 2 si ottiene d(Xm, Xn) < epsilon
ma per la definizione di Cauchi d(Xn, Xm)< epsilon per tutti gli epsilon e non solo per tutti gli epsilon mezzi ...questo non riesco a capire...
GRAZIEE A TUTTI PER LE RISPOSTEE
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_d ... _di_Cauchy
qui in questo link c'è subito la dimostrazione del fatto che se una successione è convergente è di Cauchy...
quello che non riesco a capire e che dicono Poiché 2epsilon è "piccolo a piacere", ne segue che {an} è una successione di Cauchy. Ma non ci doveva essere epsilon ? e non due epsilon? perchè se c'è due epsilon affinche la disuguaglianza sia vera dovro' prendere solo tutti gli epsilon/2 e non tutti gli epsilon affinchè sia vera... .infatti :
d(Xm,Xn) < 2epsilon/2 semplificando il 2 si ottiene d(Xm, Xn) < epsilon
ma per la definizione di Cauchi d(Xn, Xm)< epsilon per tutti gli epsilon e non solo per tutti gli epsilon mezzi ...questo non riesco a capire...
GRAZIEE A TUTTI PER LE RISPOSTEE
Risposte
Le definizioni dicono "per ogni $\epsilon$ scelto...bla bla...". Se tu ne scegli più piccoli della distanza minima succede quello che si è detto.
Comunque ora è davvero il momento che tu smetta di fare domande e ci rifletta bene su, perché l'esercizio è fatto ormai.
Paola
Comunque ora è davvero il momento che tu smetta di fare domande e ci rifletta bene su, perché l'esercizio è fatto ormai.
Paola
ok va bene !! Ora riflettero' su tutto quello che abbiamo detto... grazieeee mille!!! 
Eila ciao! E ancora tante grazie x aver dedicato attenzione !
Allora io ho riflettuto... e sono arrivata a queste conclusioni...vorrei vedere se è giusto!
Allora come mi hai detto scrivo un attimo il tutto
Prendo una successione di Cauchy in X dove X e' un insieme finito .
$ {X_n}_(ninN) $ quindi $ d(X_n,X_m) < epsilon $ per ogni $epsilon > 0 $ quando $ n > N_epsilon $
Se X ha un numero finito di elementi allora esiste un numero finito di distanze . Il minimo di queste distanze lo posso pensare come d = min d_ij con ij = 1....n ;
Quando $epsilon < d $ la successione si fissa su un punto ad. esempio se $ X = { 10 , 5,4,3,2,1 } $
la successione di Cauchy sarebbe $ { 10, 5, 4,3,2,1,1,1,1,1,1,1,1,} $
quindi d(X_n, X_m) = 0 questo implica $Xn = Xm$ quindi
$ lim_{n \to \infty}X_n = X_m $
grazie tante eh ...ho paura di sbagliare...spero di farcela ...spero che sia giusto
Allora io ho riflettuto... e sono arrivata a queste conclusioni...vorrei vedere se è giusto!
Allora come mi hai detto scrivo un attimo il tutto
Prendo una successione di Cauchy in X dove X e' un insieme finito .
$ {X_n}_(ninN) $ quindi $ d(X_n,X_m) < epsilon $ per ogni $epsilon > 0 $ quando $ n > N_epsilon $
Se X ha un numero finito di elementi allora esiste un numero finito di distanze . Il minimo di queste distanze lo posso pensare come d = min d_ij con ij = 1....n ;
Quando $epsilon < d $ la successione si fissa su un punto ad. esempio se $ X = { 10 , 5,4,3,2,1 } $
la successione di Cauchy sarebbe $ { 10, 5, 4,3,2,1,1,1,1,1,1,1,1,} $
quindi d(X_n, X_m) = 0 questo implica $Xn = Xm$ quindi
$ lim_{n \to \infty}X_n = X_m $
grazie tante eh ...ho paura di sbagliare...spero di farcela ...spero che sia giusto
Non è la sola successione di Cauchy quella che hai scritto; è solamente una che tende a 1. Le successioni di Cauchy, se $X$ è finito, sono tutte e sole quelle costanti da un certo punto in poi, e sono infinite anche se $X$ è finito, quindi non puoi elencarle tutte.
grazie per aver risposto! Ma come mai diventano costanti da un certo punto in poi???
Facciamo un esempio pratico così forse capisci questo aspetto. Prendiamo $X={0,5,7}$ con la metrica euclidea $d(x,y)=|x-y|$. Calcoliamoci esplicitamente le distanze $d_{ij}$:
$d_{21}=d_{12}=|0-5|=5$
$d_{13}=d_{31}=|0-7|=7$
$d_{23}=d_{33}=|7-5|=2$
e naturalmente $d_{11}=d_{22}=d_{33}=0$. Dunque $\overline{d}=min\{d_{ij}, i\ne j\}=2$.
Supponiamo di avere una generica successione di Cauchy $a_n$. Scegliamo (dato che è arbitrario secondo la definizione: "per ogni...") $\epsilon=\overline{d}/2$, per averlo più piccolo di $\overline{d}=2$. Per l'ipotesi fattasi avrà
$|a_n - a_m|<\epsilon=\overline{d}/2=1$ PER OGNI $m,n>N_\epsilon$
Ma noi avevamo visto, facendo le $d_{ij}$ che se due elementi erano tra loro distinti, la loro distanza era al minimo 2!! L'unico caso possibile è allora che $a_n=a_m$. Ma questo vale per ogni $m,n>N_\epsilon$, quindi significa che da $N_\epsilon$ fino all'infinito, la successione si fissa su un punto.
Paola
$d_{21}=d_{12}=|0-5|=5$
$d_{13}=d_{31}=|0-7|=7$
$d_{23}=d_{33}=|7-5|=2$
e naturalmente $d_{11}=d_{22}=d_{33}=0$. Dunque $\overline{d}=min\{d_{ij}, i\ne j\}=2$.
Supponiamo di avere una generica successione di Cauchy $a_n$. Scegliamo (dato che è arbitrario secondo la definizione: "per ogni...") $\epsilon=\overline{d}/2$, per averlo più piccolo di $\overline{d}=2$. Per l'ipotesi fattasi avrà
$|a_n - a_m|<\epsilon=\overline{d}/2=1$ PER OGNI $m,n>N_\epsilon$
Ma noi avevamo visto, facendo le $d_{ij}$ che se due elementi erano tra loro distinti, la loro distanza era al minimo 2!! L'unico caso possibile è allora che $a_n=a_m$. Ma questo vale per ogni $m,n>N_\epsilon$, quindi significa che da $N_\epsilon$ fino all'infinito, la successione si fissa su un punto.
Paola
"prime_number":
Scegliamo (dato che è arbitrario secondo la definizione: "per ogni...")
quindi io posso scegliere qualsiasi numero e da un certo indice in poi dovro' trovare che la distanza è minore di quel numero ? QUi e' il punto ... se io scelgo Epsilon = 10 , la distanza dovrà essere minore di 10 altrimenti non è di Cauchy ?
perchè se prendo la successione ${1/n}_(ninN)$ e scelgo ,visto che posso scegliere $ epsilon = 10 $ da un certo indice la distanza dovrà essere minore di 10 giusto??
La cosa deve valere per ogni $\epsilon$ possibile. Altrimenti che senso ha la definizione?
Una sequenza è di Cauchy se man mano che $n$ cresce i suoi elementi si avvicinano sempre di più l'uno al successivo, questo è il senso della definizione.
Paola
Una sequenza è di Cauchy se man mano che $n$ cresce i suoi elementi si avvicinano sempre di più l'uno al successivo, questo è il senso della definizione.
Paola
quindi e' corretto quello che ho detto? posso scegliere anche $epsilon = 10 $ se voglio ? se non funziona con epsilon = 10 vuol dire che non è di Cauchy ? giusto? scusa se faccio queste domande ma meglio farle ed essere sicuri...
Per essere di Cauchy deve funzionare con ogni $\epsilon$, quindi se ne trovi uno con cui non funziona NON è di Cauchy.
Paola
Paola
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