Dubbio derivate e differenziali
ciao a tutti! ho una domanda per voi
supponiamo di avere due funzioni f(x) e g(y) e consideriamo il rapporto delle derivate
$ ((df)/(dx))/((dg)/(dy)) $
La domanda è: posso scrivere la seguente eguaglianza?
$ ((df)/(dx))/((dg)/(dy))= (df)/(dx)\cdot (dy)/(dg) $
Grazie in anticipo
supponiamo di avere due funzioni f(x) e g(y) e consideriamo il rapporto delle derivate
$ ((df)/(dx))/((dg)/(dy)) $
La domanda è: posso scrivere la seguente eguaglianza?
$ ((df)/(dx))/((dg)/(dy))= (df)/(dx)\cdot (dy)/(dg) $
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao !
Non credo proprio
Non credo proprio
grazie della risposta, purtroppo i miei studi di analisi risalgono a un paio d'anni fa e ho dimenticato parecchie cose 
riusciresti cortesemente a motivare un pochetto la risposta?
riusciresti cortesemente a motivare un pochetto la risposta?
Per il semplice fatto che non puoi derivare MAI rispetto alle funzioni ma puoi derivare le funzioni rispetto ad uno o più parametri
grazie della disponibilità! ma visto che ciò che ho scritto è sbagliato sono costretto a porre un'altra domanda
Se ho $ a^2=((partial ^2h)/(partial t^2))/((partial ^2h)/(partial s^2)) $
c'è un modo corretto per poter giungere a $ a=(partial s)/(partial t) $ ?
Oppure l'uguaglianza appena scritta è sbagliata?
Se ho $ a^2=((partial ^2h)/(partial t^2))/((partial ^2h)/(partial s^2)) $
c'è un modo corretto per poter giungere a $ a=(partial s)/(partial t) $ ?
Oppure l'uguaglianza appena scritta è sbagliata?
L'uguaglianza che hai scritto non ha alcun senso matematico o fisico.
ok grazie mille a entrambi
Figurati:)
Non sono d'accordo. La prima identità scritta, quella con i differenziali totali, è corretta e si usa molto spesso nelle applicazioni. Anche se non hanno senso matematico, le derivate viste come rapporto di differenziali totali portano generalmente a risultati corretti. Attenzione! Con i differenziali parziali le cose cambiano.
"dissonance":
Non sono d'accordo. La prima identità scritta, quella con i differenziali totali, è corretta e si usa molto spesso nelle applicazioni. Anche se non hanno senso matematico, le derivate viste come rapporto di differenziali totali portano generalmente a risultati corretti. Attenzione! Con i differenziali parziali le cose cambiano.
Io mi riferivo infatti a ciò che voleva ricavare, insomma all'\(\displaystyle a = \frac{\partial s}{\partial r} \).
La prima può avere senso locale nel caso di funzioni sufficientemente regolari. Vediamo di dimostrarlo.
Siano \(\displaystyle f\in C^1([a,b]) \) e \(\displaystyle g\in C^1([c,d]) \). Per evitare i fraintendimenti con le frazioni segno con \(\displaystyle D_x f = \frac{df}{dx} \) e \(\displaystyle D_y g = \frac{dg}{dy} \).
Tu ti stai chiedendo se \(\displaystyle a(x,y) = \frac{D_x f}{D_y g} \) possa essere inteso come \(\displaystyle D_x f\, D_g y \). In un certo senso la risposta è sì. Fissiamo un \(\displaystyle p = (x_0,y_0) \), e supponiamo che \(\displaystyle D_y g(y_0) = g_0 \neq 0 \). Allora, essendo \(\displaystyle D_y g \) continua per ipotesi, posso usare il teorema della funzione inversa. In altre parole esiste un intorno \(\displaystyle U \) di \(\displaystyle y_0 \) e una funzione \(\displaystyle \tilde{y}\colon g(U) \to U \) tale che \(\displaystyle \tilde{y}\circ g = \mathrm{id}_U \) e \(\displaystyle g\circ \tilde{y} = \mathrm{id}_{g(U)} \) (insomma è una inversa locale ed in particolare la funzione è biiettiva).
Siccome \(\displaystyle \mathrm{id}_U(y) = (\tilde{y}\circ g)(y)\) allora \(\displaystyle D_g\mathrm{id}_U = D_g\tilde{y} \) e \(\displaystyle D_g\tilde{y} = \frac{1}{D_y g} \) che era ciò che volevi ricavare.
"dissonance":
Non sono d'accordo. La prima identità scritta, quella con i differenziali totali, è corretta e si usa molto spesso nelle applicazioni. Anche se non hanno senso matematico, le derivate viste come rapporto di differenziali totali portano generalmente a risultati corretti. Attenzione! Con i differenziali parziali le cose cambiano.
esattamente cosa cambia con i differenziali parziali? L'idea che ho in testa è che cambi per il fatto che se scrivo $ partial f $ questo differenziale parziale dipende dalla variabile che consideriamo, quindi, per una generica funzione f(x,t), $ partial f $ ottenuto considerando la variabile x è diverso da $ partial f $ ottenuto consideando la variabile t.
Era questo che intendevi?
Comunque per il fatto che di per se è sbagliato considerare i differenziali come, per così dire, numeri, e quindi utilizzare le regole dell'aritmetica, è sbagliato, ma appunto non mi è chiarissimo quando si possa fare e quando no
Grossomodo intendevo quello, ma occhio che il simbolo $\partial f$ da solo non ha proprio senso. I simboli $\partial_xf, \partial_t f$ invece hanno senso. Quando usare uno e quando gli altri... è una cosa difficile da spiegare visto che matematicamente presenta delle difficoltà. Ci vuole un po' di pratica. Nel dubbio, riconduciti sempre a concetti matematici solidi come ha fatto vict.
ok, immagino che quei pedici significhino ciò che ho detto a parole, corretto? (cioè indicano a quale variabile si riferisce il differenziale parziale) Ovvero ad esempio :
$ \partial_xf=(partial f)/(partial x)dx $
Ma comunque ritornando al primissimo caso che ho posto, facendo però una piccola variante, ovvero pongo le entrambe funzioni funzioni di x, scrivo (ipotizzando si possa fare per le ipotesi di vict85):
$ ((df)/(dx))/((dg)/(dx))= (df)/(dx)\cdot (dx)/(dg) $
In questo caso, i due dx si potrebbero, per così dire, "semplificare" per poter scrivere quanto segue?
$ ((df)/(dx))/((dg)/(dx))=(df)/(dg)\ $
Mi rendo conto che in ogni caso non sono passaggi rigorosi, se non proprio scorretti da un punto di vista matematico, ma la cosa può funzionare? Perchè io ho capito che quella di scrivere la derivata come un rapporto è solo una notazione e niente di più, ma a volte i miei professori la trattano proprio come un rapporto e sto cercando di capire quando sia lecito e quando no farlo.
grazie ancora
$ \partial_xf=(partial f)/(partial x)dx $
Ma comunque ritornando al primissimo caso che ho posto, facendo però una piccola variante, ovvero pongo le entrambe funzioni funzioni di x, scrivo (ipotizzando si possa fare per le ipotesi di vict85):
$ ((df)/(dx))/((dg)/(dx))= (df)/(dx)\cdot (dx)/(dg) $
In questo caso, i due dx si potrebbero, per così dire, "semplificare" per poter scrivere quanto segue?
$ ((df)/(dx))/((dg)/(dx))=(df)/(dg)\ $
Mi rendo conto che in ogni caso non sono passaggi rigorosi, se non proprio scorretti da un punto di vista matematico, ma la cosa può funzionare? Perchè io ho capito che quella di scrivere la derivata come un rapporto è solo una notazione e niente di più, ma a volte i miei professori la trattano proprio come un rapporto e sto cercando di capire quando sia lecito e quando no farlo.
grazie ancora
"Rockbillie":
ok, immagino che quei pedici significhino ciò che ho detto a parole, corretto? (cioè indicano a quale variabile si riferisce il differenziale parziale) Ovvero ad esempio :
$ \partial_xf=(partial f)/(partial x)dx $
Ma comunque ritornando al primissimo caso che ho posto, facendo però una piccola variante, ovvero pongo le entrambe funzioni funzioni di x, scrivo (ipotizzando si possa fare per le ipotesi di vict85):
$ ((df)/(dx))/((dg)/(dx))= (df)/(dx)\cdot (dx)/(dg) $
In questo caso, i due dx si potrebbero, per così dire, "semplificare" per poter scrivere quanto segue?
$ ((df)/(dx))/((dg)/(dx))=(df)/(dg)\ $
Mi rendo conto che in ogni caso non sono passaggi rigorosi, se non proprio scorretti da un punto di vista matematico, ma la cosa può funzionare? Perchè io ho capito che quella di scrivere la derivata come un rapporto è solo una notazione e niente di più, ma a volte i miei professori la trattano proprio come un rapporto e sto cercando di capire quando sia lecito e quando no farlo.
grazie ancora
Si può fare a seguito delle mie considerazioni in virtù della derivata di una funzione composta. Tieni conto che è qualcosa che puoi fare localmente e solo se le funzioni sono sufficiente buone (in fisica lo si dà per scontato).
Riguardo alle derivate parziali il problema è che non puoi usare i teoremi che ho citato. Per lo meno non in maniera immediata. Insomma non è qualcosa da fare alla leggera.
beh si che con le derivate parziali non si possa fare mi pare sensato, dal momento che i differenziali parziali dipendono dalla variabile, è corretto? cioè se li considero come semplici incrementi, l'incremento della funzione sarà di un certo valore se incremento una variabile, mentre se incremento un altra variabile l'incremento della funzione può essere diverso, e quindi il gioco non torna, o sto sbagliando? (sempre ipotizzando, come dici tu, che si possa fare , in quanto le funzioni sono "abbastanza buone")
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo