Dubbio definizione serie
Ciao a tutti, c'è una buona anima che mi può dire se questa definizione che avevo negli appunti è giusta ed eventualmente correggerla? 
Data una successione di numeri reali ${a_n}$
chiamiamo serie dei termini $a_n$ la scrittura formale
$sum_(n=0)^oo a_n$
per dare significato a questo "simbolo", occorre costruire una nuova successione ${s_n}$, detta successione delle somme parziali della serie $sum_(n=0)^oo a_n$, così definitia:
$ s1 = a1$
$ s2 = a1 + a2$
$ s3 = a1 + a2 + a3$
...
$ sn = a1 + a2 + ... + an$
...
$=>$ questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ rappresenta la serie dei termini $a_n$
Grazie davvero...
Data una successione di numeri reali ${a_n}$
chiamiamo serie dei termini $a_n$ la scrittura formale
$sum_(n=0)^oo a_n$
per dare significato a questo "simbolo", occorre costruire una nuova successione ${s_n}$, detta successione delle somme parziali della serie $sum_(n=0)^oo a_n$, così definitia:
$ s1 = a1$
$ s2 = a1 + a2$
$ s3 = a1 + a2 + a3$
...
$ sn = a1 + a2 + ... + an$
...
$=>$ questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ rappresenta la serie dei termini $a_n$
Grazie davvero...
Risposte
"vs88":
Ciao a tutti, c'è una buona anima che mi può dire se questa definizione che avevo negli appunti è giusta ed eventualmente correggerla?
Data una successione di numeri reali ${a_n}$
chiamiamo serie dei termini $a_n$ la scrittura formale
$sum_(n=0)^oo a_n$
per dare significato a questo "simbolo", occorre costruire una nuova successione ${s_n}$, detta successione delle somme parziali della serie $sum_(n=0)^oo a_n$, così definitia:
$s1 = a1$
$s2 = a1 + a2$
$s3 = a1 + a2 + a3$
...
$sn = a1 + a2 + ... + an$
...
$=>$ questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ rappresenta la serie dei termini $a_n$
Più o meno è giusta.
Io preferisco considerare una serie come una coppia ordinata di successioni $((a_n)_(n in NN);(s_n)_(n in NN))$ tale che la seconda coordinata sia definita per ricorrenza a partire dalla prima nel modo indicato appresso:
$\{ (s_0=a_0, " per " n=0),(s_(n+1)=s_n+a_(n+1), " per " n in NN-{0}):}$.
Una serie $((a_n)_(n in NN);(s_n)_(n in NN))$ la denoto col simbolo $\sum a_n$; la $(a_n)_(n in NN)$ la chiamo successione degli addendi di $\sum a_n$ e la $(s_n)_(n in NN)$ la chiamo successione delle somme parziali di $\sum a_n$.
Comunque l'importante è non dire in sede d'esame che Una serie è una somma infinita!
o mamma.... per fortuna me l'hai detto in tempo!! 
Perchè dici che la mia è +o- giusta??
E non semplicemente giusta
Perchè dici che la mia è +o- giusta??
E non semplicemente giusta
"vs88":
o mamma.... per fortuna me l'hai detto in tempo!!
Perchè dici che la mia è +o- giusta??
E non semplicemente giusta
Perchè secondo me non definisce cos'è una serie...
L'unica parte in cui la tua "definizione" dice La serie $\sum_n a_n$ è... identifica la serie con la successione delle somme parziali $(s_n)$, ma queste due cose dovrebbero essere oggetti distinti (altrimenti non avrebbero nomi diversi, no?).
"Sergio":
[quote="gugo82"]Perchè secondo me non definisce cos'è una serie...
L'unica parte in cui la tua "definizione" dice La serie $\sum_n a_n$ è... identifica la serie con la successione delle somme parziali $(s_n)$, ma queste due cose dovrebbero essere oggetti distinti (altrimenti non avrebbero nomi diversi, no?).
Non mi torna molto. A quanto capisco io:
a) successione (reale): $n mapsto a_n$;
b) somma parziale: $s_n=sum_(k=0)^n a_k$;
c) serie (associata alla successione ${a_n}$): successione delle somme parziali, $n mapsto s_n$;
d) somma della serie: $lim_(n to oo)s_n$.
Non vedo ridondanze
Insomma, se chiamo "successione" una "applicazione da $NN$ in $RR$", non vedo perché non posso chiamare "serie" una "successione di somme parziali".
E quindi ho pensato anch'io "più o meno è giusta", ma perché sostituirei "questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ rappresenta la serie dei termini $a_n$" con "questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ definisce [che vuol dire "rappresenta"?] la serie associata alla successione ${a_n}$".
Sbaglio?[/quote]
Forse no, perciò avevo messo all'inizio del mio post un bel "secondo me".
In ogni definizione c'è una componente che riguarda il gusto di chi la adotta o la propone. Visto che per me è bene considerare la successione delle somme parziali come cosa distinta dalla serie, preferisco la definizione che ho dato nel mio primo post qui.
"Sergio":
Sostituirei "questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ rappresenta la serie dei termini $a_n$" con "questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ definisce [che vuol dire "rappresenta"?] la serie associata alla successione ${a_n}$".
in effetti hai ragione, se nessuno ha da obbiettare.. vada per
"questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ definisce la serie associata alla successione ${a_n}$"
ok???@Gugo
La definizione che hai postato sarà (è) sicuramente migliore, però quella che ho postato io dovrebbe essere quella "secondo la mia proff" ed in ogni caso, una definizione che mi risulta più facile da comprendere al momento rispetto alla tua
...è per questo che preferivo correggere la mia
"vs88":
[quote="Sergio"]Sostituirei "questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ rappresenta la serie dei termini $a_n$" con "questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ definisce [che vuol dire "rappresenta"?] la serie associata alla successione ${a_n}$".
in effetti hai ragione, se nessuno ha da obbiettare.. vada per
"questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ definisce la serie associata alla successione ${a_n}$"
ok???[/quote]Così è (se vi pare).
Comunque, a tal punto, sarebbe meglio dire "questa successione $ s_0,s_1,s_2, ... , s_n $ è la serie associata alla successione ${a_n}$".
"vs88":
@Gugo
La definizione che hai postato sarà (è) sicuramente migliore, però quella che ho postato io dovrebbe essere quella "secondo la mia proff" ed in ogni caso, una definizione che mi risulta più facile da comprendere al momento rispetto alla tua
è per questo che preferivo correggere la mia
Capisco, don't worry!
Come ho detto, non si tratta di una definizione migliore o peggiore ma di una definizione che rispecchia i gusti di chi l'adopera.
Fermo restando l'impianto formale..che prendo senza alcuno spirito critico, ho sempre pensato che la serie fosse la somma della serie.. non cambia molto, visto che tutto l'impianto formale che avete detto rimane, semplicemente la serie è il limite della successione delle somme parziali: se è reale allora la serie è reale, se è $+oo$ la serie diverge, se non esiste la serie non esiste.. Secondo me sarebbe una buona definizione..non scocciante,ecco.
"Gaal Dornick":
Fermo restando l'impianto formale..che prendo senza alcuno spirito critico, ho sempre pensato che la serie fosse la somma della serie.. non cambia molto, visto che tutto l'impianto formale che avete detto rimane, semplicemente la serie è il limite della successione delle somme parziali: se è reale allora la serie è reale, se è $+oo$ la serie diverge, se non esiste la serie non esiste.. Secondo me sarebbe una buona definizione..non scocciante,ecco.
Se identifichi una serie con la sua somma, non saprai mai dare un significato a $\sum_n(-1)^n$.
In generale, con la definizione che proponi, non sai cosa significa serie indeterminata perchè supponi implicitamente che le ogni serie abbia una somma (finita o non).
D'altra parte, la somma termine a termine dei due oggetti (che nella tua definizione non sono serie) $\sum_n (-1)^n$ e $\sum_n (-1)^(n+1)$ dà $\sum_n 0$ che secondo la tua definizione è una serie (serie nulla).
Ciò mostra che la identificazione di una serie con la sua somma è inutile.
Ok, ritratto tutto.
"Sergio":
[quote="gugo82"][quote="Sergio"]Sbaglio?
Forse no, perciò avevo messo all'inizio del mio post un bel "secondo me".
In ogni definizione c'è una componente che riguarda il gusto di chi la adotta o la propone. Visto che per me è bene considerare la successione delle somme parziali come cosa distinta dalla serie, preferisco la definizione che ho dato nel mio primo post qui.[/quote]
Ok, pieno diritto ai gusti. Però... se per te una cosa è una serie e un'altra la successione delle somme parziali, mi piacerebbe capire la differenza tra serie e successione di somme parziali (abbi pazienza, ma sto studiando ora proprio 'sta roba...).[/quote]
La differenza è scritta nelle differenze tra le nostre definizioni: per me una serie è una coppia ordinata di successioni, per te una successione sola che si definisce per ricorrenza; detta un po' più formalmente, per me l'insieme delle serie su un campo $K$ è una parte propria non vuota di $K^NNtimes K^NN$, mentre per te è una parte propria non vuota di $K^NN$ (ricordo che $K^NN$ è la classe delle applicazioni di $NN$ in $K$, ossia delle successioni di elementi di $K$).
Tutto qui.
"Sergio":
PS2: Se dici "preferisco considerare una serie come una coppia ordinata di successioni $((a_n)_(n in NN);(s_n)_(n in NN))$", a me viene da pensare che così hai definito non una serie, ma l'insieme delle serie.
Questa affermazione non la capisco. Spiegati meglio per favore.
Con la tua definizione, inoltre, mi pare poco utile introdurre il simbolo $\sum_n a_n$ per denotare una serie: tanto vale usare il simbolo $(s_n)$ che identifica la successione delle somme parziali.
Mi potresti rispondere che:
Il problema nell'adottare un simbolo per le serie è che è più importante, per il loro studio, mettere in evidenza gli addendi piuttosto che la successione delle somme parziali.
Questo potrebbe essere un motivo valido per introdurre una nuova notazione; però a tal punto potrei dirti che la mia definizione mette in evidenza gli addendi e le somme parziali in un sol colpo, riservando il simbolo $\sum a_n$ come notazione sintetica.
Questione di gusti.
"Sergio":
[quote="gugo82"]La differenza è scritta nelle differenze tra le nostre definizioni: per me una serie è una coppia ordinata di successioni, per te una successione sola che si definisce per ricorrenza; detta un po' più formalmente, per me l'insieme delle serie su un campo $K$ è una parte propria non vuota di $K^NNtimes K^NN$, mentre per te è una parte propria non vuota di $K^NN$ (ricordo che $K^NN$ è la classe delle applicazioni di $NN$ in $K$, ossia delle successioni di elementi di $K$).
Tutto qui.
Come dire che il quadrato di un numero naturale non è $n^2$, ma la coppia $(n,n^2)$?
Come dire che la somma dei primi 10 numeri naturali non è $(10*11)/2$, ma la coppia $({1,...,10}, (10*11)/2)$?
Come dire che la serie armonica non è ${1,3/2,11/6,25/12,...}$, ma la coppia $({1,1/2,1/3,1/4..},{1,3/2,11/6,25/12,...})$?
Apparentemente artificioso, però.......
Forse (visto che un'applicazione è un caso speciale di relazione che è a sua volta un sottoinsieme di un prodotto cartesiano, che è un insieme di coppie ordinate) preferisci una notazione del tipo $a_n mapsto s_n$ alla "tradizionale" (Prodi) $n mapsto s_n$?
In fondo, se $n^2$ è il quadrato di $n$, abbiamo una funzione $f:NNtoNN$ che è un insieme di coppie ordinate $(n,n^2)$ tali che esista una ed una sola coppia per ciascun $n$.
Forse ci sono: vuoi sottolineare che una serie non "nasce" come applicazione $NN->K$, ma per "passare da" $n$ a $s_n$ si deve "passare per" $n mapsto a_n$. In sostanza, qualcosa del tipo: $n mapsto a_n mapsto s_n$.
Ci sono andato vicino?[/quote]
L'affermazione che ho evidenziato in rosso è una tua fantasia.
L'affemazione in grassetto è corretta. Per citare un tuo esempio, per me la serie $\sum_n n$ è data dalla coppia di successioni (ogni coordinata della coppia è una successione, non un singolo termine!) $((n)_(n in NN); (\sum_(k=0)^nk)_(n in NN)) in RR^NNtimes RR^NN$ (o se preferisci un forma esplicita $((n)_(n inNN); ((n*(n+1))/2)_(n in NN))$).
L'affermazione in blu è corretta solo se interpreti una somma finita come una serie che ha la successione degli addendi definitivamente nulla, ma in generale ciò non è utilissimo (può avere una sua importanza a scopo didattico per far vedere che la somma di una serie è un'estensione della somma usuale di un numero finito di elementi, ma nulla più).
"Sergio":
@Gugo
Ok, probabilmente hai ragione tu: è solo una questione di gusti
Ciò premesso, una piccola provocazione scherzosa.
Facciamo un sondaggio:
${1,1+1/2,1+1/2+1/3,1+1/2+1/3+1/4,...}={1,3/2,11/6,25/12,...}$ è una serie armonica sì o no?
E vediamo che esce fuori
No, è la successione delle somme parziali della serie armonica!
Peccato non ci sia stato bisogno di sfoderare questa definizione all'esame, sai ke risate!!!!!! Tutto bene lol!
Analisi I andata, thanks!
Analisi I andata, thanks!
"Sergio":
[quote="gugo82"]No, è la successione delle somme parziali della serie armonica!
Scommetto che saresti in minoranza
[/quote]Non credo che sarebbe in minoranza... La definizione data da gugo è l'unica corretta, in quanto è l'unica che ci permetta di tener ben distinte le due successioni che, congiuntamente, ci danno la serie; e l'opportunità di fare questa distinzione si vede bene quando ci si trovi a dover applicare regole di sommazione diverse da quella ordinaria. Inoltre, quella definizione è anche l'unica che sia reperibile su testi seri.
Complimenti Sergio, ti sei documentato a fondo !
"Sergio":
[quote="Sandokan."]quella definizione è anche l'unica che sia reperibile su testi seri.
E' serio Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis?
Definizione 3.21 (pag. 59):
Given a sequence ${a_n}$, we use the notation
$\sum_(n=p)^q a_n\qquad(p<=q)$
to denote the sum $a_p+a_(p+1)+...+a_q$. With ${a_n}$ we associate a sequence ${s_n}$, where
$s_n=sum_(k=1)^n a_k$.
For ${s_n}$ we also use the symbolic expression
$a_1+a_2+a_3+...$
or, more concisely,
(4) $sum_(n=1)^oo a_n$.
The symbol (4) we call an infinite series, or just a series. The numbers $s_n$ are called the partial sums of the series.
[/quote]
Non per fare il guastafeste, ma l'interpretazione che dai di quanto scritto dal Rudin non è l'unica possibile.
Ad esempio la frase:
"W. Rudin, in Principles of Mathematical Analysis":3v1fwcqt:
With ${a_n}$ we associate a sequence ${s_n}$, where
$s_n=sum_(k=1)^n a_k$.
può far pensare che la ${s_n}$ è vista come immagine di un'applicazione di $RR^NN$ in sé, precisamente dell'applicazione che ad ogni successione ${a_n}$ associ la successione di termine generale $s_n=\sum_(k=1)^na_k$.
Visto che un'applicazione, come mi facevi notare, è una parte del prodotto cartesiano $RR^NNtimes RR^NN$, vedi che la definizione da te riportata è molto vicina alla mia.
Il simbolo $\sum a_n$* è sintetico per denotare un oggetto matematicamente un po' più complesso di una successione, cioè un'applicazione tra spazi di successioni (in particolare di $RR^NN$ in sé).
P.S.: la definizione di serie presente nella wikipedia inglese è un po' diversa: noterai l'uso di "pair", cioè coppia ordinata.
_________________
* Uso un simbolo diverso da quello adoperato dal Rudin perchè per me la scrittura $\sum_(n=1)^(+oo)a_n$ ha senso solo se la serie è regolare ed, in tal caso, rappresenta la somma della serie $\sum a_n$.
Scusa Sergio ho problemi a visualizzare le pagine, non farmi tornare indietro a rileggere tutto! .......
In pratica cerchi un testo che dia la definizione di serie come coppia di successioni, o chiedi a Sandokan un esempio
di testo serio?!
.......In pratica cerchi un testo che dia la definizione di serie come coppia di successioni, o chiedi a Sandokan un esempio
di testo serio?!
mi era sorto il dubbio perchè nel Giusti la serie è definita come coppia e mi è parso di aver capito che
non preferisci questa come definzione di serie!.......
non preferisci questa come definzione di serie!.......
"Sergio":
Scusami, non è questione di preferenze. Sto solo cercando di capire cosa mi sfugge della definizione di Gugo.
lo so, figurati..la mia perplessità è nata vedendo proprio il Giusti nell'elenco.......
Cito dal mio testo di Giusti, Analisi Matematica1-seconda edizione-programma di matematica fisica elettronica,Bollati Boringhieri, pagina 70:
Sia ${a_n}$ una successione di numeri reali; poniamo
$s_1=a_1$
$s_2=a_1+a_2$
.
.
$s_n=a_1+.....+a_n=sum_(i=1)^na_i$
La coppia di successioni $({a_n},{s_n})$ si dice serie di termine generico $a_n$e si indica con il simbolo $sum_(n=1)^inftya_n$ oppure con $suma_n$.
I numeri $a_n$ si chiamano termini della serie, mentre le $s_n$ si chiamano somme parziali o ridotte della serie.
Ti rispondo con rammarico, constatando quanto sia peggiorato il testo del Giusti con le revisioni dovute all'introduzione dei nuovi corsi di laurea triennali.
Cito testualmente dal Giusti, Analisi Matematica 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri 1988 (ma ho la ristampa del '96):
E questo è quanto.
Sandokan probabilmente si riferiva al caso delle serie multiple, per le quali non esiste un metodo di sommazione naturale.
Mi spiego come meglio posso.
Tu sommi una serie numerica semplice come riportato nel testo di Giusti: ciò sembra naturale perchè l'insieme degli indici, cioè $NN$, è ordinato in una certa maniera.
D'altra parte per la serie doppia $\sum_(n , m in NN) a_(n , m)$ non puoi seguire uno schema del genere perchè l'insieme $NN^2$ non è dotato di un ordinamento naturale come $NN$: in questo caso puoi definire infiniti metodi di sommazione, i quali si dimostrano tutti equivalenti solo in un caso (cioè nel caso in cui la somma $\sum_(n=1)^oo(\sum_(m=1)^oo |a_(n , m)|)<+oo$), mentre portano a risultati diversi in tutti gli altri casi.
Quindi nel caso delle serie multiple non è possibile identificare la serie con la successione delle somme parziali per due motivi: 1) le somme parziali possono calcolarsi in infiniti modi e 2) anche se una delle possibili successioni di somme parziali converge, non è detto che siano regolari le altre successioni di ridotte.
Pertanto sarebbe in generale buona norma tenere distinti e separati i concetti di serie e di successione di somme parziali anche per le serie ordinarie.
P.S.: Milady ora so che abbiamo lo stesso libro!
Cito testualmente dal Giusti, Analisi Matematica 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri 1988 (ma ho la ristampa del '96):
Sia ${a_n}$ una successione di numeri reali; poniamo:
$s_1=a_1$
$s_2=a_1+a_2$
$\vdots$
$s_n=a_1+a_2+\ldots +a_n=\sum_(k=1)^na_k$.
La coppia di successioni $({a_n},{s_n})$ si chiama serie di termine generico $a_n$ e si indica con il simbolo:
$\sum_(n=1)^ooa_n quad$ oppure con $\sum a_n$.
I numeri $a_n$ si chiamano termini della serie, mentre le $s_n$ si chiamano somme parziali o ridotte della serie.
E questo è quanto.
Sandokan probabilmente si riferiva al caso delle serie multiple, per le quali non esiste un metodo di sommazione naturale.
Mi spiego come meglio posso.
Tu sommi una serie numerica semplice come riportato nel testo di Giusti: ciò sembra naturale perchè l'insieme degli indici, cioè $NN$, è ordinato in una certa maniera.
D'altra parte per la serie doppia $\sum_(n , m in NN) a_(n , m)$ non puoi seguire uno schema del genere perchè l'insieme $NN^2$ non è dotato di un ordinamento naturale come $NN$: in questo caso puoi definire infiniti metodi di sommazione, i quali si dimostrano tutti equivalenti solo in un caso (cioè nel caso in cui la somma $\sum_(n=1)^oo(\sum_(m=1)^oo |a_(n , m)|)<+oo$), mentre portano a risultati diversi in tutti gli altri casi.
Quindi nel caso delle serie multiple non è possibile identificare la serie con la successione delle somme parziali per due motivi: 1) le somme parziali possono calcolarsi in infiniti modi e 2) anche se una delle possibili successioni di somme parziali converge, non è detto che siano regolari le altre successioni di ridotte.
Pertanto sarebbe in generale buona norma tenere distinti e separati i concetti di serie e di successione di somme parziali anche per le serie ordinarie.
P.S.: Milady ora so che abbiamo lo stesso libro!
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