Dubbio definizione curva regolare
Buondì, sto svolgendo un esercizio molto semplice, che però mi ha instillato un dubbio riguardo la definizione di curva regolare.
Dunque, che io sappia una curva $gamma(t)$ in $I=[a,b]$ è regolare se è di classe $C^1$ e se $gamma'(t)!=0 AAtinI$
La curva in questione è $gamma(t)=(t^3,t^2), tin[0,1]$, che l'esercizio mi segna come regolare perché $gamma'(t)!=0 AAtin(0,1)$
...però 0 appartiene all'intervallo iniziale, e annulla $gamma'(t)$. Io, sbagliando, l'avrei considerata non regolare. Perchè nella condizione di regolarità considera l'insieme come aperto, se quello inziale era chiuso? Ufficialmente $gamma'(t)$ si annulla eccome, non capisco.
Forse la sta considerando come regolare a tratti escludendo gli estremi? E dunque per calcolarne la lunghezza l'integrale comunque non cambia estremi?
Grazie
Dunque, che io sappia una curva $gamma(t)$ in $I=[a,b]$ è regolare se è di classe $C^1$ e se $gamma'(t)!=0 AAtinI$
La curva in questione è $gamma(t)=(t^3,t^2), tin[0,1]$, che l'esercizio mi segna come regolare perché $gamma'(t)!=0 AAtin(0,1)$
...però 0 appartiene all'intervallo iniziale, e annulla $gamma'(t)$. Io, sbagliando, l'avrei considerata non regolare. Perchè nella condizione di regolarità considera l'insieme come aperto, se quello inziale era chiuso? Ufficialmente $gamma'(t)$ si annulla eccome, non capisco.
Forse la sta considerando come regolare a tratti escludendo gli estremi? E dunque per calcolarne la lunghezza l'integrale comunque non cambia estremi?
Grazie
Risposte
La derivabilità si definisce nei punti interni di un intervallo, quindi la regolarità ha senso considerarla nei punti interni.
Negli estremi si definiscono derivata destra e sinistra.
Negli estremi si definiscono derivata destra e sinistra.
Perfetto, chiarissimo. Grazie!
"anto_zoolander":
La derivabilità si definisce nei punti interni di un intervallo, quindi la regolarità ha senso considerarla nei punti interni.
Negli estremi si definiscono derivata destra e sinistra.
Ma non è questo il punto. Questa è roba per bambini.
La domanda cui si deve rispondere è "perché" ci interessa la regolarità di una curva, definita in quel modo.
E la ragione, da un punto di vista elementare, è impedire che ci si possa "fermare" e fare delle curve "troppo strette". Col rischio che il supporto della curva abbia spigoli e amenità simili.
E, quindi, a cosa serve imporre le derivate non nulle agli estremi? Ha qualcosa a che fare con questo rischio o no?
Ciao Fioravante!
L’altro giorno ti ho citato a lezione
La derivabilità, per quanto mi è concesso sapere, si definisce solo nei punti interni di un insieme.
Poi chiaramente possiamo pensare che al più si parta e si arrivi con velocità nulla, ma in sostanza negli estremi non ha senso parlare di derivabilità anche per definizione stessa di derivata.
Potremmo anche riferisci al fatto che sia utile poter definire il versore tangente in ogni punto.
L’altro giorno ti ho citato a lezione
La derivabilità, per quanto mi è concesso sapere, si definisce solo nei punti interni di un insieme.
Poi chiaramente possiamo pensare che al più si parta e si arrivi con velocità nulla, ma in sostanza negli estremi non ha senso parlare di derivabilità anche per definizione stessa di derivata.
Potremmo anche riferisci al fatto che sia utile poter definire il versore tangente in ogni punto.
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