Dubbio confronto tra limiti:
Come faccio a stabilire con certezza che $n+1$ è "più veloce" di $sqrt(n+1)$? mi spiego meglio, ad esempio tra $a^n$ e $ n!$ so con certezza che $n!$ è un infinito di ordine crescente! grazie ad un teorema(criterio del rapporto), ma per i casi precedenti sussiste un ulteriore teorema che ora mi sfugge?
Risposte
dovresti postare qualche passaggio o ragionamento... perchè a me non viene $+\infty$ se $a>0$
come ti ho suggerito prima, la funzione esponenziale $a^x$ risulta crescente se $a>1,$ mentre risulta decrescente se $a<1;$ allora nel risolvere il limite dobbiamo tenere conto della variazione della base del primo addendo, per stabilire appunto quando l'esponenziale risulti crescente (e quindi divergente a $+\infty$), oppure decrescente (e quindi convergente a $0$). quindi la prima cosa da fare è vedere quando
\begin{align*}
\frac{2a^2}{a^2+1}>1\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\frac{2a^2-a^2-1}{a^2+1}>0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,a^2-1>0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,a<-1\lor a>1
\end{align*}
e da qui discutere il limite...
\begin{align*}
\frac{2a^2}{a^2+1}>1\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\frac{2a^2-a^2-1}{a^2+1}>0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,a^2-1>0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,a<-1\lor a>1
\end{align*}
e da qui discutere il limite...
Allora ho proseguito in questo modo:Volendomi ricondurre al limite notevole di nepero, Ho riscritto $ (2a^2)/((a^2)+1)$ come $(1+ (a^2-1)/((a^2)+1))^(a^2+1)^((n)/((a^2)+1))$ e mi trovo e^+infinito se $ a>0 $ sbagliato?
"Roslyn":
Allora ho proseguito in questo modo:Volendomi ricondurre al limite notevole di nepero, Ho riscritto $ (2a^2)/( a^2 +1)$ come $(1+ (a^2-1)/( a^2 +1 )^(a^2+1))^( n /( a^2 +1 ))$ e mi trovo e^+infinito se $ a>0 $ sbagliato?
il limite notevole che richiami tu è nella forma
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]
e non ha niente a che fare con quello che hai scritto ...o no?
Giusto. Forse dovrei fare più pratica su esercizi più semplici per poi svolgere questi due... giusto? posso chiederti un favore?
si di pure!
Per favore potresti darmi una raccolta di esercizi sui limiti di successione? :3 ho esaurito quelli sul mio eserciziario( sono a dir poco banali e sicuramente non da esame di analisi 1), e su internet si trova poco riguardo alle successioni.
ok
Ti ringrazio davvero di cuore! Non ho mai trovato tanta disponibilità verso me... ti vorrei come mio prof!!! Grazie davvero! Per la raccolta di esercizi come me li mandi?
ti ho mandato un PM
Sisi ora ho visto! Ti ho appena risposto 
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