Dubbio confronto tra limiti:
Come faccio a stabilire con certezza che $n+1$ è "più veloce" di $sqrt(n+1)$? mi spiego meglio, ad esempio tra $a^n$ e $ n!$ so con certezza che $n!$ è un infinito di ordine crescente! grazie ad un teorema(criterio del rapporto), ma per i casi precedenti sussiste un ulteriore teorema che ora mi sfugge?
Risposte
perchè hai la certezza che $n!$ è infinito di ordine superiore (non crescente) rispetto ad $a^n, a>1$?
"Roslyn":
Come faccio a stabilire con certezza che $n+1$ è "più veloce" di $sqrt(n+1)$? mi spiego meglio, ad esempio tra $a^n$ e $ n!$ so con certezza che $n!$ è un infinito di ordine crescente! grazie ad un teorema(criterio del rapporto), ma per i casi precedenti sussiste un ulteriore teorema che ora mi sfugge?
In realtà non e che $n+1$ è più veloce di $sqrt(n+1)$ ma $n$ è più veloce di $sqrt(n)$
quei termini finiti $1$ si possono trascurare",
Questo lo puoi dimostrare più dettagliatamente appunto rifacendoti ai limiti notevoli della "gerarchia degli infiniti",
basta calcolare questo limite: $\lim_(n \to \infty)((n + 1)/(sqrt(n+1)))$
raccolgo $n: $ sopra e sotto (nella radice)
$\lim_{n \to \infty}((n(1 + 1/n))/(sqrt(n(1+1/n))))$
"spezzo" il limite utilizzando l'algebra dei limiti (limite del prodotto = prodotto dei limiti)
$\lim_{n \to \infty}(n/(sqrt(n))) * \lim_{n \to \infty}((1 + 1/n)/(sqrt(1+1/n)))$
il primo è un limite notevole e tende ad $infty$ (e questo dimostra l'asserto).
il secondo tende ad $1$ perchè i termini $1/n$" cosiddetti "evanescenti tendono a $0$ e rimane un $1$
$infty*1 = infty$ .
$cvd$
Cortesemente potresti dirmi la dimostrazione del limite notevole $(n )$/$(sqrt(n))$ ? graficamente risulta evidente che n è un infinito di ordine superiore, ma se lo voglio dimostrare rigorosamente?
non c'è nessun limite notevole...
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{\sqrt n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}-1}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{-\frac{1}{2} }}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty\]
in ogni caso, la questione, che sostanzialmente hai posto anche ieri, è il confronto tra infiniti:
considera due successioni $a_n$ e $b_n,$ infinite, ovvero tali che
\[\lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}a_n=\pm\infty\]
allora diremo che:
\begin{align}
a_n\,\,\,\mbox{è infinito di ordine superiore a }\,\,\, b_n\qquad &\Leftrightarrow\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\pm\infty\\
a_n\,\,\,\mbox{è infinito di ordine inferiore a }\,\,\, b_n\qquad &\Leftrightarrow\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=0\\
a_n\,\,\,\mbox{è infinito dello stesso ordine di }\,\,\, b_n\qquad &\Leftrightarrow\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in\mathbb{R}\ne0\\
a_n\,\,\,\mbox{non è confrontabile con }\,\,\, b_n\qquad &\Leftrightarrow\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\not\exists \\
\end{align}
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{\sqrt n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}-1}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{-\frac{1}{2} }}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty\]
in ogni caso, la questione, che sostanzialmente hai posto anche ieri, è il confronto tra infiniti:
considera due successioni $a_n$ e $b_n,$ infinite, ovvero tali che
\[\lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}a_n=\pm\infty\]
allora diremo che:
\begin{align}
a_n\,\,\,\mbox{è infinito di ordine superiore a }\,\,\, b_n\qquad &\Leftrightarrow\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\pm\infty\\
a_n\,\,\,\mbox{è infinito di ordine inferiore a }\,\,\, b_n\qquad &\Leftrightarrow\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=0\\
a_n\,\,\,\mbox{è infinito dello stesso ordine di }\,\,\, b_n\qquad &\Leftrightarrow\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in\mathbb{R}\ne0\\
a_n\,\,\,\mbox{non è confrontabile con }\,\,\, b_n\qquad &\Leftrightarrow\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\not\exists \\
\end{align}
"Roslyn":
Cortesemente potresti dirmi la dimostrazione del limite notevole $(n )$/$(sqrt(n))$ ? graficamente risulta evidente che n è un infinito di ordine superiore, ma se lo voglio dimostrare rigorosamente?
Applica la definizione di successione divergente a \(n^{1/2}\)
\begin{split}
\forall K>0\ \exists \overline{n}\in \mathbb{N}:a_{n}>K\ \forall n>\overline{n}\in \mathbb{N}
\end{split}
Vale a dire che fissato \(K\) trovi subito un \(\overline{n}\) tale che \(a_{n}>K\) da questo valore di \(\overline{n}\) in poi.
Ancora una volta grazie! per la completezza! Le porgo altre domanda:1) i termini costanti(es 1 ,40,500) sono sempre trascurabili rispetto ad n ecc? cioè in un intorno di + infinito li posso trascurare? 2) Essendo sempre in un intorno di + infinito posso ad esempio sempre elevare al quadrato per eliminare la radice quadrata, oppure dividere per n essendo un numero sicuramente positivo? 3) l'algebra dei limiti la posso utilizzare sempre, tranne nei casi indeterminati giusto?
"Roslyn":
Ancora una volta grazie! per la completezza! Le porgo (abbiamo finito con sto "lei")altre domanda:1) i termini costanti(es 1 ,40,500) sono sempre trascurabili rispetto ad n ecc? cioè in un intorno di + infinito li posso trascurare?
si , ad esempio
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+6}{3^n+57}\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2 }{3^n}=0
\end{align}
in qunto a numeratore hai che l'infinito dominante, cioè l'infinito di ordine superiore è $n^2;$ come fai a dimostralo? be in base a quanto ti ho scritto prima sul confronto tra infiniti, devi confrontare le due successioni $a_n:=n^2$ e $b_n:=6$ (successione costante); in realtà non hai due infiniti da confrontare, in quanto la succesisone $b_n:=6$ non è infinita, è costante, e dunque il'unico infinito che hai a numeratore, è proprio $n^2;$
"Roslyn":
2) Essendo sempre in un intorno di $+ \infty$ posso ad esempio sempre elevare al quadrato per eliminare la radice quadrata, oppure dividere per $n$ essendo un numero sicuramente positivo?
"Roslyn":
3) l'algebra dei limiti la posso utilizzare sempre, tranne nei casi indeterminati giusto?
Perfetto, "TI" ringrazio molto. Mi sto appassionando esponenzialmente all'analisi *w*. Prima risolvevo un particolare limite:
$\lim_{n \to \infty}n^4log(1+(1)/(n!)^3)$. Io ho fatto cosi:
$\lim_{n \to \infty}(n^4log(1+(1)/(n!)^3))^((n!)^3)^(1/(n!)^3)$ (non so perchè ma non esce il codice scritto nel linguaggio appropriato :S comunque ho sfruttato la proprietà delle potenze, ho elevato la struttura di partenza a $n!^3 $ ed elevato ancora a $1/(n!^3) $ per ricondurmi al limite notevole di e) cosi ottengo $\lim_{n \to \infty}n^4log1=0$ ho sbagliato qualche passaggio? in questo caso quando ho una successione$ a_n$->+infinito e un'altra $ b_n-> 0$ , il prodotto$ a_n*b_n =0$ giusto? o 0 deve essere un valore costante? Scusa per le continue domande ... :S
$\lim_{n \to \infty}n^4log(1+(1)/(n!)^3)$. Io ho fatto cosi:
$\lim_{n \to \infty}(n^4log(1+(1)/(n!)^3))^((n!)^3)^(1/(n!)^3)$ (non so perchè ma non esce il codice scritto nel linguaggio appropriato :S comunque ho sfruttato la proprietà delle potenze, ho elevato la struttura di partenza a $n!^3 $ ed elevato ancora a $1/(n!^3) $ per ricondurmi al limite notevole di e) cosi ottengo $\lim_{n \to \infty}n^4log1=0$ ho sbagliato qualche passaggio? in questo caso quando ho una successione$ a_n$->+infinito e un'altra $ b_n-> 0$ , il prodotto$ a_n*b_n =0$ giusto? o 0 deve essere un valore costante? Scusa per le continue domande ... :S
no quella è una forma indeterminata, attenzione! 
;alternativamente, osservando che $\frac{1}{(n!)^3}\to0,$ puoi considerare il comportamento asintotico del logaritmo, cioè
\begin{align}\lim_{n \to \infty}n^4\ln\left(1+\frac{1}{(n!)^3}\right)\sim\lim_{n \to \infty}n^4\cdot\frac{1}{(n!)^3}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{(n!)^3}=0 \end{align}
per la seconda domanda, attenzione: $0 \cdot \infty$ è una forma indeterminata, quindi non puoi concludere quello che dici
;alternativamente, osservando che $\frac{1}{(n!)^3}\to0,$ puoi considerare il comportamento asintotico del logaritmo, cioè\begin{align}\lim_{n \to \infty}n^4\ln\left(1+\frac{1}{(n!)^3}\right)\sim\lim_{n \to \infty}n^4\cdot\frac{1}{(n!)^3}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{(n!)^3}=0 \end{align}
per la seconda domanda, attenzione: $0 \cdot \infty$ è una forma indeterminata, quindi non puoi concludere quello che dici
ti lascio in "omaggio" due esercizi da fare, relativi all'argomento
\[\lim_{n\to +\infty}\left[\left(\frac{2a^2}{a^2+1}\right)^n-\frac{1}{n^{5a}}\right],\qquad a\in \mathbb{R}\]
\[\lim_{n\to +\infty}\frac{3^n\ln^2n-2^n\sin n}{\left(2\ln n-\cos n\sqrt{\ln n}\right)2^n\left(\frac{3^n}{2^n}\ln n-n^4\arctan n\right)}\]
due esercizi da fare, relativi all'argomento\[\lim_{n\to +\infty}\left[\left(\frac{2a^2}{a^2+1}\right)^n-\frac{1}{n^{5a}}\right],\qquad a\in \mathbb{R}\]
\[\lim_{n\to +\infty}\frac{3^n\ln^2n-2^n\sin n}{\left(2\ln n-\cos n\sqrt{\ln n}\right)2^n\left(\frac{3^n}{2^n}\ln n-n^4\arctan n\right)}\]
Ok! quindi posso moltiplicare per 0 quando quest'ultimo è valore già noto, cioè una costante fissa!
Mi metto subito al lavoro sugli esercizi!
in caso sono qui, (io e la febbre 
)
)
il "problema" è proprio quello; ricordiamo che la funzione esponenziale $a^x$ risulta crescente se $a>1,$ mentre risulta decrescente se $a<1;$ allora nel risolvere il limite bisogna tenere conto della variazione della base del primo addendo, per stabilire appunto quando l'esponenziale risulti crescente (e quindi divergente a $+\infty$), oppure decrescente (e quindi convergente a $0$).
mi era sembrato di aver visto una domanda ...
$\frac{1}{n^{5a}}$ tende a 0 e si può ignorare, giusto?
Allucinazione collettiva?
"Noisemaker":
mi era sembrato di aver visto una domanda ...
Allucinazione collettiva?
io ho la febbre...quindi può essere!! attenzione, $1/n^{5a}\to 0$ se $a>0$....
attenzione, $1/n^{5a}\to 0$ se $a>0$....
"Noisemaker":
$1/n^{5\alpha}\to 0$ se $\alpha>0$....
Vero. Bisogna discutere il parametro. Ci penso su.
P.S.: Buona guarigione
Si avevo fatto la domanda, ma avevo anche capito come procedere scusa :S e buona guarigione!
Allora studiando il tutto, se a>0 ho che il limite tende a + infinito giusto?
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