Dubbio concettuale forme differenziali esatte
Ragazzi purtroppo mi sono di nuovo bloccato a livello concettuale su uno degli argomenti principali del mio secondo modulo di analisi e mi chiedevo se qualcuno potrebbe gentilmente darmi una mano...
La domanda è la seguente: perchè si usa il termine forma differenziale "esatta"?
Sul mio libro di testo non viene neanche posto questo problema, quindi cercando su internet la risposta a questo quesito ho notato che le forme differenziali sono legate a molti concetti di geometria (in particolare alle forme lineari) e, putroppo, in tale materia non sono messo abbastanza bene.
Il significato delle forme differenziali l'ho compreso, spero correttamente, considerando l'interpretazione fisica degli integrali di linea di seconda specie.
Considero un campo vettoriale:
$F(x,y,z)=(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z))$
Relaziono i punti (x,y,z) in funzione del solo parametro t tramite una curva:
$\phi(t)=\{(x=\phi_1(t)),(y=\phi_2(t)),(z=\phi_3(t)):}$
Quindi:
$\F(\phi(t))=(f_1(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t)),f_2(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t)),f_3(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t)))$
Ora la forma differenziale dovrebbe essere $\F(\phi(t))'$, cioè:
$f_1(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_1'(t)+f_2(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_2'(t)+f_3(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_3'(t)$
Che può essere scritta in termini di prodotto scalare tra il campo F e il vettore $\phi'(t)$, cioe':
$\F(\phi(t))'=F(\phi(t))*\phi'(t)$
Dalla poca geometria che conosco posso affermare che l'ultima relazione ha una precisa interpretazione geometrica, cioè indica la componente orientata di F lungo $\phi'$.
Ora integrare lungo tutta la curva tale espressione, significa sommare i valori di tutte le componenti tangenti associate a ogni punto della curva.
Il risultato è un valore numerico che, ipotizzando F come un campo di forze, rappresenta il lavoro compiuto da F lungo $\phi$.
In base a tale considerazione mi verrebbe d'affermare che una forma differenziale rappresenta il lavoro compiuto da un campo vettoriale lungo una curva considerando uno spostamento infinitesimo lungo quest'ultima.
Siccome non ho trovato conferma ne sul libro, ne tra gli appunti e neanche su internet, non ho la certezza che la conclusione a cui sono arrivato sia corretta.
Comunque il problema per ora è un altro, quindi torno al quesito iniziale.
Nel caso in cui si verifica:
$f_1(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_1'(t)+f_2(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_2'(t)+f_3(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_3'(t)=$
$(delg)/(delx)(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_1'(t)+(delg)/(dely)(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_2'(t)+(delg)/(delz)(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_3'(t)$
cioè $(f_1, f_2, f_3)=((delg)/(delx), (delg)/(dely), (delg)/(delz))$, quindi $F=\nablag$, si dice che $\F(\phi(t))'$ è una forma differenziale esatta.
Ora, intuitivamente, il termine "forma differenziale esatta" mi fa pensare che le forme differenziali che non verificano la relazione $F=\nablag$, cioè che non ammettono l'esistenza di un campo g che soddisfi la relazione, siano una sorta di approssimazione di un qualcosa a me sconosciuto.
Quindi, riproponendo il quesito, perchè si è scelto il termine "esatto" per tali forme differenziali?
Se poi la motivazione richiede una conoscenza solida della geometria, meglio lasciare stare.
Grazie mille in anticipo a tutti...
La domanda è la seguente: perchè si usa il termine forma differenziale "esatta"?
Sul mio libro di testo non viene neanche posto questo problema, quindi cercando su internet la risposta a questo quesito ho notato che le forme differenziali sono legate a molti concetti di geometria (in particolare alle forme lineari) e, putroppo, in tale materia non sono messo abbastanza bene.
Il significato delle forme differenziali l'ho compreso, spero correttamente, considerando l'interpretazione fisica degli integrali di linea di seconda specie.
Considero un campo vettoriale:
$F(x,y,z)=(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z))$
Relaziono i punti (x,y,z) in funzione del solo parametro t tramite una curva:
$\phi(t)=\{(x=\phi_1(t)),(y=\phi_2(t)),(z=\phi_3(t)):}$
Quindi:
$\F(\phi(t))=(f_1(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t)),f_2(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t)),f_3(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t)))$
Ora la forma differenziale dovrebbe essere $\F(\phi(t))'$, cioè:
$f_1(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_1'(t)+f_2(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_2'(t)+f_3(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_3'(t)$
Che può essere scritta in termini di prodotto scalare tra il campo F e il vettore $\phi'(t)$, cioe':
$\F(\phi(t))'=F(\phi(t))*\phi'(t)$
Dalla poca geometria che conosco posso affermare che l'ultima relazione ha una precisa interpretazione geometrica, cioè indica la componente orientata di F lungo $\phi'$.
Ora integrare lungo tutta la curva tale espressione, significa sommare i valori di tutte le componenti tangenti associate a ogni punto della curva.
Il risultato è un valore numerico che, ipotizzando F come un campo di forze, rappresenta il lavoro compiuto da F lungo $\phi$.
In base a tale considerazione mi verrebbe d'affermare che una forma differenziale rappresenta il lavoro compiuto da un campo vettoriale lungo una curva considerando uno spostamento infinitesimo lungo quest'ultima.
Siccome non ho trovato conferma ne sul libro, ne tra gli appunti e neanche su internet, non ho la certezza che la conclusione a cui sono arrivato sia corretta.
Comunque il problema per ora è un altro, quindi torno al quesito iniziale.
Nel caso in cui si verifica:
$f_1(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_1'(t)+f_2(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_2'(t)+f_3(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_3'(t)=$
$(delg)/(delx)(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_1'(t)+(delg)/(dely)(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_2'(t)+(delg)/(delz)(\phi_1(t),\phi_2(t),\phi_3(t))\phi_3'(t)$
cioè $(f_1, f_2, f_3)=((delg)/(delx), (delg)/(dely), (delg)/(delz))$, quindi $F=\nablag$, si dice che $\F(\phi(t))'$ è una forma differenziale esatta.
Ora, intuitivamente, il termine "forma differenziale esatta" mi fa pensare che le forme differenziali che non verificano la relazione $F=\nablag$, cioè che non ammettono l'esistenza di un campo g che soddisfi la relazione, siano una sorta di approssimazione di un qualcosa a me sconosciuto.
Quindi, riproponendo il quesito, perchè si è scelto il termine "esatto" per tali forme differenziali?
Se poi la motivazione richiede una conoscenza solida della geometria, meglio lasciare stare.
Grazie mille in anticipo a tutti...
Risposte
Più che una domanda di "matematica" mi sembra una domanda "filologica"! In ogni caso, la scelta del termine deriva da un fatto abbastanza semplice: in generale una forma differenziale $\omega$ di grado $q$ (non sto a definirti cosa essa sia in senso generale, perderemmo troppo tempo, ma sostanzialmente diciamo che quelle che hai studiato tu sono un esempio "standard") si dice esatta se esiste un altra forma differenziale $\alpha$ di grado $q-1$ tale che $d\alpha=\omega$. In soldoni, il concetto di esattezza sta nel fatto che per ottenere la tua forma $\omega$ ti basta "derivare" un altra forma $\alpha$. Ci sono molti concetti di cui ho (volutamente) taciuto in questa "spiegazione", ma considerando che non mi sembra tu sia interessato a comprendere una marea di definizioni e teoremi legati alla teoria del "calcolo differenziale esterno".
Infatti mi sono reso conto che, per quello che devo fare, conoscere a pieno il concetto di forma differenziale esatta non è alla fin fine così necessario!
Comunque grazie mille ciampax per "avermi svelato questa piccola curiosità"!
Comunque grazie mille ciampax per "avermi svelato questa piccola curiosità"!
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