Dubbio con massimo relativo

[Gmork]

Salve,

Ho trovato sul libro la seguente osservazione e volevo sapere se qualcuno me la può spiegare, magari con dei passaggi:

Se $x_0$ è l'estremo sinistro di $I$ e la funzione $f:I\to \mathbb{R}$ ha in $x_0$ un massimo relativo, allora se esiste $f'_+(x_0)$ risulta: $f'_+(x_0)\le 0$

[Gmork]

Ah adesso credo di aver chiaro tutto, grazie.

La funzione $\sin x$ ha un'infinità di PUNTI su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] in cui raggiunge un massimo, unico e pertanto massimo assoluto (proprio perchè viene considerato l'intero dominio).

Mentre $x\cos x$ pensata su [tex]\mathbb{R}[/tex] presenta certi "picchi" che sono massimi (o minimi) relativi.

Allora io mi chiedo....

se faccio una restrizione opportuna al dominio di $x\cos x$ potrei trasformare i massimi relativi in un massimo assoluto, dico bene? (per esempio scegliendo come dominio $I(x_0)-{x_0}$)

[dissonance]

"Orlok":se faccio una restrizione opportuna al dominio di $x\cos x$ potrei trasformare i massimi relativi in un massimo assoluto, dico bene? (per esempio scegliendo come dominio $I(x_0)-{x_0}$)

Prova un po'. Con questo codice:

 [asvg]xmin=-15.707; xmax=15.707; ymin=-15.707; ymax=15.707; axes(); plot("x*cos(x)");[/asvg] 

puoi plottare questo grafico: [asvg]xmin=-15.707; xmax=15.707; ymin=-15.707; ymax=15.707; axes(); plot("x*cos(x)");[/asvg]Modificando i parametri "xmin" e "xmax" modifichi l'insieme di definizione della funzione; ad esempio con xmin=-3.14, xmax=6.28 ottieni questo:
[asvg]xmin=-3.14; xmax=6.28; ymin=-15.707; ymax=15.707; axes(); plot("x*cos(x)");[/asvg]Prova a giocare con questi parametri per ottenere una funzione che assume il proprio massimo assoluto in uno ed un solo punto. Usa il pulsante "Anteprima" per vedere cosa hai fatto.

[Gmork]

Mettendo:

xmin=0; xmax=3.14; ymin=-1; ymax=1;

mi è venuto questo:

[asvg]xmin=0; xmax=3.14; ymin=-1; ymax=1; axes(); plot("x*cos(x)");[/asvg]

[Fioravante Patrone1]

"Orlok":
Allora io mi chiedo....

se faccio una restrizione opportuna al dominio di $x\cos x$ potrei trasformare i massimi relativi in un massimo assoluto, dico bene? (per esempio scegliendo come dominio $I(x_0)-{x_0}$)

Quasi sì. Nel senso che non devi togliere $x_0$!!!
Mica stiamo facendo un limite, neh!


Mi spiego un po' più dettagliatamente.
Se un punto $x_0$ è di max relativo, allora esiste un in torno $I(x_0)$ t.c. il punto $x_0$ sia di max assoluto per la restrizione di $f$ a $I(x_0)$.

Ovvio che, se tu prendi $E \subseteq I(x_0)$, allora il punto $x_0$ sarà anche di max assoluto per $f$ ristretta ad $E$.
Ergo, visto che $I(x_0)-{x_0}$ è contenuto in $I(x_0)$, la tua affermazione sopra è formalmente corretta (e quindi corretta, per quanto riguarda la matematica).
Ma quella affermazione mi lascia perplesso riguardo alla comprensione di questo argomento. Ecco cosa intendevo dire. Soprattutto ho voluto rimarcare il fatto che "togliere $x_0$" è qualcosa che si fa, ma in un contesto diverso (e quindi non vorrei che ci fosse un po' di confusione "in testa").

PS: complimenti per la perseveranza tua e non solo

[Gmork]

Ah si giusto...effettivamente non ha senso togliere $x_0$ sia che si parli di massimo relativo che di assoluto tranne se non viene appositamente richiesto (che credo si avvicini all'idea di "contesto" di cui parlavi)