Dubbio con massimo relativo
Salve,
Ho trovato sul libro la seguente osservazione e volevo sapere se qualcuno me la può spiegare, magari con dei passaggi:
Ho trovato sul libro la seguente osservazione e volevo sapere se qualcuno me la può spiegare, magari con dei passaggi:
Se $x_0$ è l'estremo sinistro di $I$ e la funzione $f:I\to \mathbb{R}$ ha in $x_0$ un massimo relativo, allora se esiste $f'_+(x_0)$ risulta: $f'_+(x_0)\le 0$
Risposte
Mi sembra abbastanza intuitivo. Se in [tex]x_0[/tex] c'è un massimo relativo vuol dire che la funzione immediatamente dopo tale punto è decrescente, ovvero pendenza negativa, ovvero derivata (da destra, per cui il segno [tex]+[/tex]) negativa.
Puoi dimostrarlo rigorosamente utilizzando il fatto che il rapporto incrementale è crescente, e un qualche teorema (non ricordo precisamente l'enunciato) sui limiti di funzioni monotone.
Per definizione $f'_{+} (x_0) = \lim_{x\to x_0 ^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$.
Se $x_0$ è punto di massimo relativo, il numeratore è $\le 0$ (per $x$ in un opportuno intorno di $x_0$).
D'altra parte, essendo $x>x_0$, il denominatore è positivo.
Di conseguenza l'argomento del limite è $\le 0$.
Poiché per ipotesi il limite esiste finito, esso è necessariamente $\le 0$ per il teorema della permanenza del segno.
Se $x_0$ è punto di massimo relativo, il numeratore è $\le 0$ (per $x$ in un opportuno intorno di $x_0$).
D'altra parte, essendo $x>x_0$, il denominatore è positivo.
Di conseguenza l'argomento del limite è $\le 0$.
Poiché per ipotesi il limite esiste finito, esso è necessariamente $\le 0$ per il teorema della permanenza del segno.
Ok. Capito, grazie 
Un'ultima cosa....
ma tutto ciò vale non solo se $x_0$ è l'estremo sinistro di $I$ ma tutte le volte in cui calcolo $D_+f(x_0)$ no?
ma tutto ciò vale non solo se $x_0$ è l'estremo sinistro di $I$ ma tutte le volte in cui calcolo $D_+f(x_0)$ no?
Certo.
In generale, se $x_0$ è un punto di massimo relativo, allora, se sono definite,
$f'_{+}(x_0)\le 0$, $f'_{-}(x_0)\ge 0$.
In particolare, se $x_0$ è punto interno del dominio ed $f$ è derivabile in $x_0$, tali derivate sono entrambe definite e devono essere uguali, per cui ottieni $f'(x_0)=0$.
Se invece $x_0$ è estremo sinistro del dominio, non puoi ovviamente avere nessuna informazione sulla derivata sinistra.
In generale, se $x_0$ è un punto di massimo relativo, allora, se sono definite,
$f'_{+}(x_0)\le 0$, $f'_{-}(x_0)\ge 0$.
In particolare, se $x_0$ è punto interno del dominio ed $f$ è derivabile in $x_0$, tali derivate sono entrambe definite e devono essere uguali, per cui ottieni $f'(x_0)=0$.
Se invece $x_0$ è estremo sinistro del dominio, non puoi ovviamente avere nessuna informazione sulla derivata sinistra.
Non riesco però a capire perchè ad esempio con $f(x)=3x^2$ che presenta $f'(0)=0$ lo $0$ non è punto di minimo relativo per il dominio di $f$
Se $x_0$ è punto di minimo/massimo etc. etc., allora $f'(x_0) = 0$.
Nessuno ha mai detto che vale il viceversa.
Nessuno ha mai detto che vale il viceversa.
"Orlok":
Non riesco però a capire perchè ad esempio con $f(x)=3x^2$ che presenta $f'(0)=0$ lo $0$ non è punto di minimo relativo per il dominio di $f$
Perchè il teorema che ti hanno suggerito, cioè il Teorema di Fermat, afferma che:
$x_0$ punto di max/min relativo $rArr$ $f'(x_0)=0$
cioè: se $x_0$ è un punto di minimo /massimo relativo allora ($rArr$) $f'(x_0)=0$
Nota bene che non è detto che sia vero il viceversa (se no avrei messo $hArr$), cioè il fatto che $f'(x_0)=0$ non implica necessariamente che $x_0$ sia un punto di massimo o minimo relativo.
Attento alle implicazioni.
L'implicazione $rArr$ è differente da $hArr$..
Esempio 1
Ti suggerisco ad esempio di studiare la funzione $f(x)=x^3$.
Osserva il grafico:
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("x^3"); // disegna la funzione seno[/asvg]
In $x=0$ ti pare ci sia un massimo o minimo? eppure la derivata è nulla!!!
Questo giustifica quanto detto prima.
__________
Esempio 2
Oppure un altro esempio è la funzione:
$f(x)= (x-2)^3 +1$.
Nel punto di ascissa $2$, la derivata si annulla, ma quel punto non è un estremo relativo, bensì un punto di flesso.
Osserva infatti:
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("(x-2)^3 +1"); // disegna la funzione seno[/asvg]
In verità ho mal posto la domanda:
io ho ad esempio $f(x)=3x^2$ , come mai è verificato che $x_0=0$ non è punto di minimo relativo nonostante $f(0)\le f(x)$ $\forall x<0$ e $\forall x>0$ ?
io ho ad esempio $f(x)=3x^2$ , come mai è verificato che $x_0=0$ non è punto di minimo relativo nonostante $f(0)\le f(x)$ $\forall x<0$ e $\forall x>0$ ?
Ma $x_0=0$ è punto di minimo (relativo e assoluto).
Ah, infatti. Allora vedevo giusto 
Mentre concettualmente, a quanto ho capito, la differenza fra massimo (minimo) assoluto o relativo consiste nell'unicità: di massimi (minimi) relativi ne possono esistere più di uno, mentre quello assoluto è unico. Oppure sto dicendo una fesseria?
Mentre concettualmente, a quanto ho capito, la differenza fra massimo (minimo) assoluto o relativo consiste nell'unicità: di massimi (minimi) relativi ne possono esistere più di uno, mentre quello assoluto è unico. Oppure sto dicendo una fesseria?
è vero che il massimo (o minimo) assoluto è al più uno (può anche non esserci)
mentre di massimi (o minimi) relativi ce ne possono essere tanti,
ma il vero punto è che $x_0$ è di massimo assoluto per $f$ se $AA x in D \/ {x_0}$ dove $D$ è il dominio della funzione, si ha che $f(x) \le f(x_0)$
mentre è di massimo relativo se $EE I(x_0)$, intorno di $x_0$ tale che $AA x in I(x_0)$, si ha che $f(x) \le f(x_0)$.
capisci la differenza?
EDIT. ho leggermente modificato per adattare meglio alle giuste osservazioni di dissonance
mentre di massimi (o minimi) relativi ce ne possono essere tanti,
ma il vero punto è che $x_0$ è di massimo assoluto per $f$ se $AA x in D \/ {x_0}$ dove $D$ è il dominio della funzione, si ha che $f(x) \le f(x_0)$
mentre è di massimo relativo se $EE I(x_0)$, intorno di $x_0$ tale che $AA x in I(x_0)$, si ha che $f(x) \le f(x_0)$.
capisci la differenza?
EDIT. ho leggermente modificato per adattare meglio alle giuste osservazioni di dissonance
E' come se il dominio $D$ l'avessimo ridotto all'intorno $I(x_0)$ , no?
no, non capisco cosa intendi.
non ci deve per forza essere una visione semplificata delle cose, la differenza fra massimo relativo e assoluto è quella che vedi nel mio post precedente.
non ci deve per forza essere una visione semplificata delle cose, la differenza fra massimo relativo e assoluto è quella che vedi nel mio post precedente.
"blackbishop13":Verissimo però specifichiamo meglio per evitare di confondere Orlok: il valore massimo assoluto, se c'è, è unico. Possono esserci più punti di massimo assoluto, ovvero punti nei quali il valore massimo viene raggiunto.
è vero che il massimo (o minimo) assoluto è al più uno (può anche non esserci)
Esempi ce ne sono a pacchi. Una funzione che non ha un valore massimo ($f(x)=1-e^{-x},\ x>=0$):
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=1; axes(); plot("1-e^(-x)");[/asvg]
certo, ha un $"sup"$, come tutte le funzioni a valori reali, e questo $"sup"$ è un numero reale e non $+infty$; però la funzione non lo raggiunge mai.
Una funzione che ha un valore massimo ma lo raggiunge in più di un punto, addirittura infinite volte ($f(x)=cosx,\ x\inRR$):
[asvg]xmin=-15.707; xmax=15.707; ymin=-1; ymax=1; axes(); plot("cos(x)");[/asvg]
E si può andare avanti così ancora a lungo. Practice makes perfect.
Ah e visto che ci siamo. Consideriamo una variazione sul tema dell'ultima funzione: $f(x)=xcos(x),\ x \in RR$.
[asvg]xmin=-15.707; xmax=15.707; ymin=-15.707; ymax=15.707; axes(); plot("x*cos(x)");[/asvg]
In corrispondenza di certi punti, il grafico presenta dei picchi. Non sono più dei massimi/minimi assoluti, infatti questa funzione non presenta né massimi né minimi assoluti. Ma come blackbishop ha spiegato dettagliatamente, sono dei massimi relativi.
Grazie per i chiarimenti.
@dissonance: quindi per esempio la funzione $\sin x$ non ha massimi assoluti ma ha una infinità (numerabile?) di massimi che sono massimi relativi se la pensiamo definita su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] giusto?
@blackbishop13: quello che intendevo, anche se sembra una forzatura, è che se al posto di quello che tu hai chiamato $D-{x_0}$ quindi l'intero dominio della funzione privato di $x_0$, andiamo a considerare, se esiste, un intorno di $I(x_0)$ tale che $forall x\in I(x_0), x\ne x_0 \Rightarrow f(x)\le f(x_0)$ , insomma come se restringessimo l'intero dominio della funzione al solo $I(x_0)$ . Spero di essermi spiegato
@dissonance: quindi per esempio la funzione $\sin x$ non ha massimi assoluti ma ha una infinità (numerabile?) di massimi che sono massimi relativi se la pensiamo definita su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] giusto?
@blackbishop13: quello che intendevo, anche se sembra una forzatura, è che se al posto di quello che tu hai chiamato $D-{x_0}$ quindi l'intero dominio della funzione privato di $x_0$, andiamo a considerare, se esiste, un intorno di $I(x_0)$ tale che $forall x\in I(x_0), x\ne x_0 \Rightarrow f(x)\le f(x_0)$ , insomma come se restringessimo l'intero dominio della funzione al solo $I(x_0)$ . Spero di essermi spiegato
Dati:
- un sottoinsieme $A$ di $RR$
- una funzione $f: A \to RR$
Definizioni
Diciamo che $x_0 \in A$ è un punto di max assoluto (detto anche "globale") per $f$ se: $f(x_0) \ge f(x)$ per ogni $x \in A$.
Se $x_0$ è un punto di max assoluto, allora $f(x_0)$ è il massimo della funzione.
Nota
Ovviamente il max di $f$, se esiste, è unico (dipende dall'antisimmetria del $\ge$).
Ovviamente una funzione $f$ può avere più punti di max.
Definizione
Diciamo che $x_0 \in A$ è un punto di max relativo (detto anche "locale") per $f$ se esiste un intorno $U$ di $x_0$ t.c. $x_0$ sia punto di max assoluto per f ristretta ad $U$.
Ne segue che la tua risposta a dissonance è sbagliata, mentre in quello che avevi già detto e che ribadisci a blackbishop13 cogli proprio l'idea buona di cosa sia un punto di max relativo: come se restringessimo l'intero dominio della funzione al solo $I(x_0).
Se vuoi continuare la discussione, verifica prima se le def riportate sopra "ti tornano". O se hai dei dubbi in merito.
- un sottoinsieme $A$ di $RR$
- una funzione $f: A \to RR$
Definizioni
Diciamo che $x_0 \in A$ è un punto di max assoluto (detto anche "globale") per $f$ se: $f(x_0) \ge f(x)$ per ogni $x \in A$.
Se $x_0$ è un punto di max assoluto, allora $f(x_0)$ è il massimo della funzione.
Nota
Ovviamente il max di $f$, se esiste, è unico (dipende dall'antisimmetria del $\ge$).
Ovviamente una funzione $f$ può avere più punti di max.
Definizione
Diciamo che $x_0 \in A$ è un punto di max relativo (detto anche "locale") per $f$ se esiste un intorno $U$ di $x_0$ t.c. $x_0$ sia punto di max assoluto per f ristretta ad $U$.
Ne segue che la tua risposta a dissonance è sbagliata, mentre in quello che avevi già detto e che ribadisci a blackbishop13 cogli proprio l'idea buona di cosa sia un punto di max relativo: come se restringessimo l'intero dominio della funzione al solo $I(x_0).
Se vuoi continuare la discussione, verifica prima se le def riportate sopra "ti tornano". O se hai dei dubbi in merito.
"Orlok":
Grazie per i chiarimenti.
@dissonance: quindi per esempio la funzione $\sin x$ non ha massimi assoluti ma ha una infinità (numerabile?) di massimi che sono massimi relativi se la pensiamo definita su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] giusto?
@blackbishop13: quello che intendevo, anche se sembra una forzatura, è che se al posto di quello che tu hai chiamato $D-{x_0}$ quindi l'intero dominio della funzione privato di $x_0$, andiamo a considerare, se esiste, un intorno di $I(x_0)$ tale che $forall x\in I(x_0), x\ne x_0 \Rightarrow f(x)\le f(x_0)$ , insomma come se restringessimo l'intero dominio della funzione al solo $I(x_0)$ . Spero di essermi spiegato
"Gaal Dornick":
Puoi dimostrarlo rigorosamente utilizzando il fatto che il rapporto incrementale è crescente, e un qualche teorema (non ricordo precisamente l'enunciato) sui limiti di funzioni monotone.
Attenzione, non è possibile garantire che il rapporto incrementale sia crescente. Prendi una funzione del tipo $|x^4 \sin(1/x)|$ (e zero in zero...)
"Orlok":
Ah, infatti. Allora vedevo giusto
Mentre concettualmente, a quanto ho capito, la differenza fra massimo (minimo) assoluto o relativo consiste nell'unicità: di massimi (minimi) relativi ne possono esistere più di uno, mentre quello assoluto è unico. Oppure sto dicendo una fesseria?
Se ti riferisci ai valori assunti dalla funzione hai ragione.
Se invece ti riferisci ai punti di max assoluto/relativo, allora è una fesseria
Tuttavia, la vera differenza sta nelle diverse definizioni che hai per questi due concetti.
Quelle di cui parli e a cui ho risposto sono conseguenze di tali definizioni.
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