Dubbi trasformazioni di coordinate integrali doppi
ciao a tutti
domani ho l'esame orale di analisi matematica 2, non ho ben capito una cosa:
http://tinypic.com/view.php?pic=2j63fgg ... Bq_pfl_u08
non capisco come l'area del pezzettino di parallelogramma in xy sia uguale al determinante del Jacobiano della trasformazione. Grazie mille a chi mi illuminerà
domani ho l'esame orale di analisi matematica 2, non ho ben capito una cosa:
http://tinypic.com/view.php?pic=2j63fgg ... Bq_pfl_u08
non capisco come l'area del pezzettino di parallelogramma in xy sia uguale al determinante del Jacobiano della trasformazione. Grazie mille a chi mi illuminerà
Risposte
Se indichi con $(u,v)=\Phi(x,y)=(\phi^1(x,y),\phi^2(x,y))$ la trasformazione, allora l'area infinitesima del "rettangolino" è data da
$$du\ dv=d\phi^1\cdot d\phi^2=(\phi^1_x \ dx+\phi^1_y\ dy)(\phi^2_x \ dx+\phi^2_y\ dy)=(\phi^1_x\phi^2_y-\phi^1_y\phi^2_x)\ dx\ dy$$
questo perché $dx\ dx=dy\ dy=0,\ dy\ dx=-dx\ dy$. Inoltre, l'ultima quantità tra parentesi è proprio il determinante Jacobiano della trasformazione $\Phi$, che si indica con $J_\Phi$. Ovviamente, considerando la trasformazione $\Psi=\Phi^{-1}$, si ha che $J_\Psi=(J_\Phi)^{-1}$ e pertanto $dx\ dy=J_\Psi\ du\ dv$.
$$du\ dv=d\phi^1\cdot d\phi^2=(\phi^1_x \ dx+\phi^1_y\ dy)(\phi^2_x \ dx+\phi^2_y\ dy)=(\phi^1_x\phi^2_y-\phi^1_y\phi^2_x)\ dx\ dy$$
questo perché $dx\ dx=dy\ dy=0,\ dy\ dx=-dx\ dy$. Inoltre, l'ultima quantità tra parentesi è proprio il determinante Jacobiano della trasformazione $\Phi$, che si indica con $J_\Phi$. Ovviamente, considerando la trasformazione $\Psi=\Phi^{-1}$, si ha che $J_\Psi=(J_\Phi)^{-1}$ e pertanto $dx\ dy=J_\Psi\ du\ dv$.
grazie ciampax! 
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