Dubbi teorici da risolvere
Se ho una funzione limitata nel suo insieme di definizione, sicuramente c'è il massimo assoluto per il teorema di Weirstrass.
Se è crescente e non limitata e ha solo un punto critico, quello è solo di minimo\massimo relativo ed escludo quello di massimo\minimo assoluto? Giusto?
Per i limiti con Taylor.
Quando a posto delle singole funzioni vado a mettere la propria formula di Taylor, devo per forza scrivere l' o piccolo per far capire dove mi fermo oppure posso tralasciarlo perchè si capisce dove mi fermo?
So che l' o piccolo ti dice dove fermarti, perchè alla fine dei passaggi io dovrei eliminare le $x$ di ordine superiore.
La domanda è: è un erroraccio omettere o piccolo? perchè finora mi son sempre trovato bene omettendola.
Grazie per le risposte.
Se è crescente e non limitata e ha solo un punto critico, quello è solo di minimo\massimo relativo ed escludo quello di massimo\minimo assoluto? Giusto?
Per i limiti con Taylor.
Quando a posto delle singole funzioni vado a mettere la propria formula di Taylor, devo per forza scrivere l' o piccolo per far capire dove mi fermo oppure posso tralasciarlo perchè si capisce dove mi fermo?
So che l' o piccolo ti dice dove fermarti, perchè alla fine dei passaggi io dovrei eliminare le $x$ di ordine superiore.
La domanda è: è un erroraccio omettere o piccolo? perchè finora mi son sempre trovato bene omettendola.
Grazie per le risposte.
Risposte
"clever":
Se ho una funzione limitata nel suo insieme di definizione, sicuramente c'è il massimo assoluto per il teorema di Weirstrass.
Se è crescente e non limitata e ha solo un punto critico, quello è solo di minimo\massimo relativo ed escludo quello di massimo\minimo assoluto? Giusto?
ehm...no!può essere anche un punto di flesso a tangente orizzontale oltre che di min o max relativo...
Si, dico in generale, quando l'insieme di definizione è limitato e la funzione è continua, 'per forza' devo trovare un massimo e minimo 'assoluto'.
Poi se tra i punti critici mi trovo anche punti di flesso a tangente orizzontale, minimi e massimi 'relativi'...bhè xD parecchio fortunato, ecco.
Invece, se non è limitato, parlo solo di punti di max, min, relativo, mai assoluti giusto?
Poi se tra i punti critici mi trovo anche punti di flesso a tangente orizzontale, minimi e massimi 'relativi'...bhè xD parecchio fortunato, ecco.
Invece, se non è limitato, parlo solo di punti di max, min, relativo, mai assoluti giusto?
"clever":
Si, dico in generale, quando l'insieme di definizione è limitato e la funzione è continua, 'per forza' devo trovare un massimo e minimo 'assoluto'.
Poi se tra i punti critici mi trovo anche punti di flesso a tangente orizzontale, minimi e massimi 'relativi'...bhè xD parecchio fortunato, ecco.
Invece, se non è limitato, parlo solo di punti di max, min, relativo, mai assoluti giusto?
sui max e minimi assoluti in un insieme limitato ok.
...per il resto puoi trovare anche punti di flesso orizzontale anche la dove la funzione non è limitata....
"clever":
Si, dico in generale, quando l'insieme di definizione è limitato e la funzione è continua, 'per forza' devo trovare un massimo e minimo 'assoluto'.
Ti manca qualche ipotesi fondamentale: $f(x) = x$ in $(0, 1)$ non ha nè massimo nè minimo.
"Gatto89":
[quote="clever"]Si, dico in generale, quando l'insieme di definizione è limitato e la funzione è continua, 'per forza' devo trovare un massimo e minimo 'assoluto'.
Ti manca qualche ipotesi fondamentale: $f(x) = x$ in $(0, 1)$ non ha nè massimo nè minimo.[/quote]
La funzione deve essere continua in un intervallo chiuso e limitato del tipo $[a,b]$
allora per il teorema di Weirstrass, ci devono essere due punti $x_1,x_2$ appartenenti a $[a,b]$ tale che:
$f(x_1)=
Mi sfugge qualcosa gatto89?
No, ora è corretto. Ricorda che è essenziale che l'intervallo sia chiuso e limitato.
In mente avevo un intervallo del tipo $[a,b]$. Quello che ho citato è il teorema di Weirstrass.
Se nel compito mi trovassi già un insieme di definizione del tipo $[a,b]$ $U$ $[c,d]$ io dopo aver trovato la derivata prima, punti critici (ponendo derivata prima uguale a $0$), arrivati a crescenza-decrescenza della $f$ posso citare il teorema di weirstrass che mi assicura l'esistenza di massimi e minimi 'assoluti'?
Perchè, da quanto ho capito, il prof ci tiene a questa cosa.
Se nel compito mi trovassi già un insieme di definizione del tipo $[a,b]$ $U$ $[c,d]$ io dopo aver trovato la derivata prima, punti critici (ponendo derivata prima uguale a $0$), arrivati a crescenza-decrescenza della $f$ posso citare il teorema di weirstrass che mi assicura l'esistenza di massimi e minimi 'assoluti'?
Perchè, da quanto ho capito, il prof ci tiene a questa cosa.
edito: avevo capito male la tua domanda, scusa 
Comunque si puoi affermarlo tranquillamente, se l'intervallo è chiuso e limitato, ovvero se rispetti le condizioni del teorema sicuramente la funzione assume minimo e massimo assoluti, trovarli poi è un'altra questione. L'unica cosa fai attenzione che non è detto che si trovino in corrispondenza di un punto critico, anzi.
Basta considerare $ f(x) = x $ in $ [0,1] $ dove la derivata non si annulla...
Comunque si puoi affermarlo tranquillamente, se l'intervallo è chiuso e limitato, ovvero se rispetti le condizioni del teorema sicuramente la funzione assume minimo e massimo assoluti, trovarli poi è un'altra questione. L'unica cosa fai attenzione che non è detto che si trovino in corrispondenza di un punto critico, anzi.
Basta considerare $ f(x) = x $ in $ [0,1] $ dove la derivata non si annulla...
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