Dubbi su operatore Nabla (Gradiente)
Salve a tutti,
sto studiando il concetto di campo in fisica e ho un dubbio che non riesco a chiarire.
Ve lo illustro: stiamo parlando di un campo scalare $U(x,y,z)$.
Se voglio considerare la variazione infinitesima nello spazio del campo $U$, farò:
$dU = (partial U)/(partial x) dx + (partial U)/(partial y) dy + (partial U)/(partial z) dz $
dove i vari:
$(partial U)/(partial x) dx , (partial U)/(partial y) dy, (partial U)/(partial z) dz$
indicano le rispettive variazioni lungo i tre assi, giusto?
Quindi io avevo pensato così:
$(partial U)/(partial x)$ indica la direzione della variazione;
$dx$ indica di quanto ci si è spostati (lo spostamento infinitesimo proiettato sull'asse $x$).
Fin qui è giusto?
Se sì, seguendo questo ragionamento, mi trovo ora davanti a ciò che viene definito Gradiente di $U$, ovvero:
$ nablaU=(partial U)/(partial x) hat(x) + (partial U)/(partial y) hat(y) + (partial U)/(partial z) hat(z) =vec(V)(x,y,z)$
Ora viene il punto. Se
$(partial U)/(partial x) $ mi indica già la direzione della variazione, cosa serve moltiplicarla per $hat(x)$?
cosa mi indica fisicamente il risultato $vec(V)(x,y,z)$?
Vi ringrazio.
sto studiando il concetto di campo in fisica e ho un dubbio che non riesco a chiarire.
Ve lo illustro: stiamo parlando di un campo scalare $U(x,y,z)$.
Se voglio considerare la variazione infinitesima nello spazio del campo $U$, farò:
$dU = (partial U)/(partial x) dx + (partial U)/(partial y) dy + (partial U)/(partial z) dz $
dove i vari:
$(partial U)/(partial x) dx , (partial U)/(partial y) dy, (partial U)/(partial z) dz$
indicano le rispettive variazioni lungo i tre assi, giusto?
Quindi io avevo pensato così:
$(partial U)/(partial x)$ indica la direzione della variazione;
$dx$ indica di quanto ci si è spostati (lo spostamento infinitesimo proiettato sull'asse $x$).
Fin qui è giusto?
Se sì, seguendo questo ragionamento, mi trovo ora davanti a ciò che viene definito Gradiente di $U$, ovvero:
$ nablaU=(partial U)/(partial x) hat(x) + (partial U)/(partial y) hat(y) + (partial U)/(partial z) hat(z) =vec(V)(x,y,z)$
Ora viene il punto. Se
$(partial U)/(partial x) $ mi indica già la direzione della variazione, cosa serve moltiplicarla per $hat(x)$?
cosa mi indica fisicamente il risultato $vec(V)(x,y,z)$?
Vi ringrazio.
Risposte
Caro Dino, come tu dici, se in $ (partial u)/(partialx) $ ci fosse una informazione sulla direzione non servirebbe porre accanto il versore.
In $ (partial u)/(partialx) $ c'è soltanto l'informazione che stai derivando rispetto ad $ x $ .
Ora, tu potresti chiederti se le due scritture $ vecnablaU=(partial U)/(partial x) hat(x) + (partial U)/(partial y) hat(y) + (partial U)/(partial z) hat(z) $ e $ dU=(partial U)/(partial x) dx + (partial U)/(partial y) dy + (partial U)/(partial z) dz $ siano scorrelate o meno.
Risposta: no, non lo sono.
Innzi tutto: "Cosa indica fisicamente il gradiente" Beh, il gradiente indica la direzione di massima variazione del campo scalare, cioè se tu calcoli il gradiente in un punto di coordinate $ A=| ( a ),( b ),( c ) | $ troverai come risultato un vettore con certe componenti e che punta in una data direzione. Beh la direzione di questo vettore ti dice verso dove devi muoverti se vuoi andare nella direzione di massimo cambiamento del campo scalare. Se ti muovi in ogni altra direzione il campo scalare varia di meno.
Adesso ammettiamo che il tuo campo scalare sia $ U=(x+1)^2+(y+1)^2 $. Faccio un esempio in due dimensioni per essere semplici. Allora il gradiente nel punto $ vecx=(0,0) $ varrà $ vecnablaU=(2,2) $.
Quanto varia il potenziale passando dal suo valore nell'origine al suo valore in un punto di coordinate $ P=(dx,dy,dz) $ ?
Beh è semplice, al primo'ordine dU= $ vecnablaU*vecP $ . Ma attento, tu puoi muoverti, lungo molte direzioni che in $ P=(dx,dy,dz) $ non sono esplicitamente indicate, un vettore del genere è genrico, potrebbe essere $ vecP=(2epsi,-4 epsi,3 epsi) $ oppure $ vecP=(54epsi,-12 epsi,- 21epsi) $ . Dove ho usato $ epsi $ per dire che il punto in cui sto andando è ancora vicino all'origine in questo caso, ma in generale vicino al punto di partenza.
Quindi nella scrittura $ dU=(partialU)/(partialx)dx $ è il dx che ti da informazioni sulla direzione e non la derivata parziale
In $ (partial u)/(partialx) $ c'è soltanto l'informazione che stai derivando rispetto ad $ x $ .
Ora, tu potresti chiederti se le due scritture $ vecnablaU=(partial U)/(partial x) hat(x) + (partial U)/(partial y) hat(y) + (partial U)/(partial z) hat(z) $ e $ dU=(partial U)/(partial x) dx + (partial U)/(partial y) dy + (partial U)/(partial z) dz $ siano scorrelate o meno.
Risposta: no, non lo sono.
Innzi tutto: "Cosa indica fisicamente il gradiente" Beh, il gradiente indica la direzione di massima variazione del campo scalare, cioè se tu calcoli il gradiente in un punto di coordinate $ A=| ( a ),( b ),( c ) | $ troverai come risultato un vettore con certe componenti e che punta in una data direzione. Beh la direzione di questo vettore ti dice verso dove devi muoverti se vuoi andare nella direzione di massimo cambiamento del campo scalare. Se ti muovi in ogni altra direzione il campo scalare varia di meno.
Adesso ammettiamo che il tuo campo scalare sia $ U=(x+1)^2+(y+1)^2 $. Faccio un esempio in due dimensioni per essere semplici. Allora il gradiente nel punto $ vecx=(0,0) $ varrà $ vecnablaU=(2,2) $.
Quanto varia il potenziale passando dal suo valore nell'origine al suo valore in un punto di coordinate $ P=(dx,dy,dz) $ ?
Beh è semplice, al primo'ordine dU= $ vecnablaU*vecP $ . Ma attento, tu puoi muoverti, lungo molte direzioni che in $ P=(dx,dy,dz) $ non sono esplicitamente indicate, un vettore del genere è genrico, potrebbe essere $ vecP=(2epsi,-4 epsi,3 epsi) $ oppure $ vecP=(54epsi,-12 epsi,- 21epsi) $ . Dove ho usato $ epsi $ per dire che il punto in cui sto andando è ancora vicino all'origine in questo caso, ma in generale vicino al punto di partenza.
Quindi nella scrittura $ dU=(partialU)/(partialx)dx $ è il dx che ti da informazioni sulla direzione e non la derivata parziale
Ciao Trajan e grazie per il tuo aiuto.
Ho capito in toto ciò che mi hai scritto. L'unica cosa al momento che mi risulta difficile da "metabolizzare" è che
$ grad U \cdot dvec(s) = dU $ $(1)$
dove $dvec(s)$ è un vettore indicante lo spostamento.
Ora, se pur matematicamente ho la dimostrazione di quanto scritto nella $(1)$, non riesco a convincermene geometricamente.
Faccio un esempio:
il gradiente è nullo nei punti di max di min e di sella; se mi metto in un punto di massimo (ad esempio) e mi sposto di una quantità e nella direzione $dvec(s)$, volendo calcolare la variazione $dU$ del campo $U$ dovrei fare:
$ grad U \cdot dvec(s)$
ma questo significa, essendo il gradiente nullo,
$vec(0) \cdot dvec(s) = 0$
Il che significa che la variazione è nulla in qualsiasi direzione io mi muova.
So quasi per certo che mi sto sbagliando, ma spero che la confutazione di ciò che ho scritto mi possa aiutare a comprendere.
Grazie ancora!
Ho capito in toto ciò che mi hai scritto. L'unica cosa al momento che mi risulta difficile da "metabolizzare" è che
$ grad U \cdot dvec(s) = dU $ $(1)$
dove $dvec(s)$ è un vettore indicante lo spostamento.
Ora, se pur matematicamente ho la dimostrazione di quanto scritto nella $(1)$, non riesco a convincermene geometricamente.
Faccio un esempio:
il gradiente è nullo nei punti di max di min e di sella; se mi metto in un punto di massimo (ad esempio) e mi sposto di una quantità e nella direzione $dvec(s)$, volendo calcolare la variazione $dU$ del campo $U$ dovrei fare:
$ grad U \cdot dvec(s)$
ma questo significa, essendo il gradiente nullo,
$vec(0) \cdot dvec(s) = 0$
Il che significa che la variazione è nulla in qualsiasi direzione io mi muova.
So quasi per certo che mi sto sbagliando, ma spero che la confutazione di ciò che ho scritto mi possa aiutare a comprendere.
Grazie ancora!
Ma in realtà non ti sbagli. Se vai a vedere nelle ipotesi dei teoremi la linearizzazione $ grad U \cdot dvec(s) = dU $ la puoi fare solo dove il gradiente non si annulla 
. Quindi in un punto di massimo, sella o minimo non va bene
. Quindi in un punto di massimo, sella o minimo non va bene
Pensala come serie di Taylor. Se il termine al primo ordine non è nullo puoi arrestare lo sviluppo lì, se è nullo, come nel caso in cui il gradiente faccia zero, beh, devi andare più in là con gli ordini. Vedi: matrice hessiana. 
Se non ti torna qualcosa di quel che dico chiedi pure
Se non ti torna qualcosa di quel che dico chiedi pure
Ah quindi il gradiente deve essere diverso da 0!
Comunque tu geometricamente riesci a vedere come il prodotto scalare tra gradiente e vettore spostamento dia la variazione del campo?
Grazie per la tua disponilità!
Comunque tu geometricamente riesci a vedere come il prodotto scalare tra gradiente e vettore spostamento dia la variazione del campo?
Grazie per la tua disponilità!
Beh, sì, soprattutto pensando al campo come un potenziale elettrostatico
La vedo anche io ora!
Ti ringrazio Trajan, hai svegliato il mio terzo occhi
Un'ultima curiosità.. vedo scritto anche che :
$ (dU)/(ds) = (nablaU cdot dvec(s))/(ds) = (nablaU cdot hatnds)/(ds)= nablaU cdot hatn = |\nablaU|costheta $
Algebricamente ho capito il passaggio, ma ancora una volta non riesco a prefigurarmi il significato di tale espressione. Cosa indica $(dU)/(ds)$? La derivata di $U$ rispetto a $s$? Che sarebbe?
Purtroppo posso riportare solo una formula nuda e cruda, dal momento che questo vedo sulle dispense.. quinci la mia confusione.
Ti ringrazio Trajan, hai svegliato il mio terzo occhi
Un'ultima curiosità.. vedo scritto anche che :
$ (dU)/(ds) = (nablaU cdot dvec(s))/(ds) = (nablaU cdot hatnds)/(ds)= nablaU cdot hatn = |\nablaU|costheta $
Algebricamente ho capito il passaggio, ma ancora una volta non riesco a prefigurarmi il significato di tale espressione. Cosa indica $(dU)/(ds)$? La derivata di $U$ rispetto a $s$? Che sarebbe?
Purtroppo posso riportare solo una formula nuda e cruda, dal momento che questo vedo sulle dispense.. quinci la mia confusione.
Beh in realtà questo tipo di scrittura rimane un po' miseteriosa anche per me, prova a darmi il contesto!
C'è solo un appunto che recita:
"se si effettua la derivata del campo in tutte le possibili direzioni del punto, il gradiente fornisce la direzione in cui la derivata direzionale è massima".
Ma non capisco la relazione con la formula prima riportata.
"se si effettua la derivata del campo in tutte le possibili direzioni del punto, il gradiente fornisce la direzione in cui la derivata direzionale è massima".
Ma non capisco la relazione con la formula prima riportata.
op
Allora quella è solo una notazione originale per la derivata direzionale. Come è definita? Beh vediti un libro di Analisi . Ma quello che è importante è che di solito si fa così: si prende un vettore di norma unitaria cioè $ vecv $ con $ ||vecv||=1 $ . Cioè tu non stai derivando lungo gli assi ma in una direzione generica data da quella del vettore $ vecv $ . Ora....la cosa importante è che la derivata direzionale di U di solito si indica con $ (partialU)/(partialvecv) $ . Quello che è importante è che vale (vai a vederti la dimostrazione):
$ (partialU)/(partialvecv)=vecnablaU*vecv=|vecnablaU||vecv|cosa $ in cui $ a $ è l'angolo fra il vettorino v ed il gradiente. Ora se $ ||vecv||=1 $, quanto vale il prodotto scalare? $ |vecnablaU|cosa $ e quand'è che questo è massimo? Guarda caso proprio quando a=0. Cioè v e il gradiente sono paralleli: individuano la stessa direzione. Chiaro?
Quella del tuo professore mi sembra solo una notazione particolare. Ma sai quante ce ne sono nell'ambito del calcolo vettoriale?
. Ma quello che è importante è che di solito si fa così: si prende un vettore di norma unitaria cioè $ vecv $ con $ ||vecv||=1 $ . Cioè tu non stai derivando lungo gli assi ma in una direzione generica data da quella del vettore $ vecv $ . Ora....la cosa importante è che la derivata direzionale di U di solito si indica con $ (partialU)/(partialvecv) $ . Quello che è importante è che vale (vai a vederti la dimostrazione):$ (partialU)/(partialvecv)=vecnablaU*vecv=|vecnablaU||vecv|cosa $ in cui $ a $ è l'angolo fra il vettorino v ed il gradiente. Ora se $ ||vecv||=1 $, quanto vale il prodotto scalare? $ |vecnablaU|cosa $ e quand'è che questo è massimo? Guarda caso proprio quando a=0. Cioè v e il gradiente sono paralleli: individuano la stessa direzione. Chiaro?
Quella del tuo professore mi sembra solo una notazione particolare. Ma sai quante ce ne sono nell'ambito del calcolo vettoriale?
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