Dubbi su dominio integrali doppi con coordinate polari...

[Roccop86]

Ho il seguente integrale doppio con relativo dominio...ho provato a calcolare il dominio in coordinate polari, mi servirebbe una conferma sul procedimento:
$ int int_(D) (2x)/(x^2+y^2) dx dy $

$ D -= { ( 4x^2+9y^2<=1 ),( x<=y ):} $

Ovvero la metà destra dell'ellisse tagliata dalla bisettrice del 1° e 3° quadrante...
Passando in coordinate polari ottengo:
$ x=(1/2)rhocos(theta) $
$ y=(1/3)rhosin(theta) $

$ 0<=rho<=1 $

$ (1/2)cos(theta)<=(1/3)sin(theta) $
$ tan(theta)>=(3/2) $

Ottengo queste 2 soluzioni:
$ arctan(3/2)<=theta<=(pi/2) $ e
$ pi+arctan(3/2)<=theta<=(3/2)pi $

E' giusto?

[Sk_Anonymous]

Hai sbagliato a risolvere la disequazione lineare in seno e coseno. Quando dividi per il coseno devi fare due casi.
In ogni modo, puoi anche utilizzare il metodo grafico per risolverla.

[Roccop86]

scusa ma sono un po' arrugginito con le disequazioni goniometriche...per i 2 casi intendi $cos(theta)>0$ e $cos(theta)<0$?
Provo con il metodo grafico:

$ cos(theta)=x, sin(theta)=y $

Ottengo:

$ 1/2x<=1/3y rArr y>=3/2x $
$ x^2+y^2=1 $

Faccio il grafico ed ho l'arco di circonferenza compreso tra i punti di intersezione quindi:

$ -arccos(2/sqrt(13))<=theta<=arccos(2/sqrt(13)) $
$ -arcsin(3/sqrt(13))<=theta<=arcsin(3/sqrt(13)) $

E' giusto? Posso esprimere questi intervalli in maniera più semplice, magari riducendo ad un solo intervallo?
Risolvendo con wolfram si ottiene questo...in che modo somiglia al mio risultato?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2F3%29sinx

Grazie

[Sk_Anonymous]

Il tuo risultato continua ad essere sbagliato.
Usando la funzione arcotangente, che ovviamente puoi ancora usare anche con il metodo grafico, l'intervallo deve essere:
arctg(3/2)
Prova a ricontrollare i tuoi conti.

[Roccop86]

Ho ricontrollato e sembro esserci...in pratica i miei risultati sono giusti, ma sono espressi in seno e coseno...se li dividi ottieni la tangente e quindi il tuo risultato...ora ho capito!
Solo una curiosità ormai mi resta...come mai il risultato è comunque diverso da wolfram alpha?

[Sk_Anonymous]

Confermo che il tuo risultato è logicamente sbagliato, non è solo una questione di notazioni. Dovresti correggerlo cercando di comprendere il motivo dell'errore. La mia impressione è che tu faccia confusione con le funzioni circolari inverse. Quale intervallo adotti per theta quando usi le coordinate polari? Quale risultato dà il testo di cui parli?

[Roccop86]

Dunque...io ho utilizzato il metodo grafico...
Ho messo a sistema la circonferenza goniometrica con il semipiano individuato da $y>=3/2x$ e ottengo questi 2 punti:

1) $(-2/sqrt(13),-3/sqrt(13))$

2) $(2/sqrt(13),3/sqrt(13))$

Poi da qui ho scritto:

1) $-2/sqrt(13)<=cos(theta)<=2/sqrt(13)$
2) $-3/sqrt(13)<=sin(theta)<=3/sqrt(13)$

Poi sono passato alle funzioni inverse per trovare $theta$...dove sbaglio?
Per quanto riguarda il risultato sul testo non ce l'ho...ma wolfram alfa dice: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2F3%29sinx

[Sk_Anonymous]

Una disequazione lineare in seno e coseno può essere risolta anche con le formule parametriche, esprimendo seno e coseno in funzione della tangente di x/2.
In questo caso, quando l'angolo non è notevole, è naturale esprimere le soluzioni con l'arcotangente di x/2, ottenendo formule anche molto diverse dal caso in cui si siano usate le funzioni circolari inverse di x. Nella risoluzione grafica, dopo avere disegnato la circonferenza e la retta, non il piano, devi capire quale dei due archi rappresenta le tue soluzioni, nel nostro caso quello alla sinistra della retta medesima. Una volta individuato l'arco puoi dare le soluzioni utilizzando la funzione circolare inversa che preferisci. Io ho utilizzato l'arcotangente e in questo caso ti ho già scritto le soluzioni.