Dubbi su convergenza di serie numeriche con parametro ed esponenziali
Buonasera a tutti, da quando ho iniziato il corso di Analisi 1 ho sempre avuto molti dubbi su esercizi riguardanti le serie numeriche, in particolare quelle contenenti il parametro e la presenza di esponenziali.
Da ciò che ho capito per questa tipologia di esercizi in cui compare il parametro alla base degli esponenziali , esempio:
Studiare il carattere della seguente serie al variare del parametro x appartenente ad $RR$ : $\sum_{n=1}^infty x^n/(2+x^n)$ o anche ad esempio $RR$ : $\sum_{n=1}^infty (1+x^n)^(1/2) /x^n$. I I passi da fare sono: Lavorare sulla serie con x in modulo,cercare di analizzare il carattere generale della serie nei vari casi del modulo (se <1 >1 o =1) e capire se potrebbe esserci una possibile convergenza verificando se rispettata la condizione necessaria. Poi per i valori per i quali è rispettata, dimostrare la convergenza mediante equivalenze asintotiche o applicando il criterio della radice o rapporto . Giusto? Se ciò che ho detto è corretto i miei dubbi a riguardo sono : Perchè consideriamo x in modulo? Considerando che x varia in R potrebbe assumere anche valori negativi, ma considerando che l'esponenziale ammette solo basi positive il parametro negativo (base) sarebbe da considerarsi come un esponenziale (con base positiva ) ma con segno meno davanti e dunque come il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse giusto? Questo giustificherebbe anche il fatto poi che nell'analizzare il carattere generale della serie (cioè capire quando diventa infinitesimo o infinito al tendere di x -> infinito) andiamo a distinguere i casi del modulo |x|>1 o |x|<1 e non soltanto x compreso tra 0 e 1 (come farei se avessi ad esempio un esponenziale con base positiva e segno positivo) , perchè stiamo considerando appunto i diversi comportamenti sia per l'esponenziale con segno positivo, sia per il suo simmetrico ? Infine, dato che il criterio della radice viene applicato in convergenza assoluta, le informazioni che ci da sono da ritenersi valide soltanto per la convergenza , in quanto la convergenza assoluta implica anche quella semplice, e quindi sarebbe errato considerare valide anche per la convergenza le informazioni che ci fornisce. Spero di essermi spiegato bene ed esser riuscito a trasmettere i miei dubbi a riguardo, attendo un vostro feedback! Grazie
Da ciò che ho capito per questa tipologia di esercizi in cui compare il parametro alla base degli esponenziali , esempio:
Studiare il carattere della seguente serie al variare del parametro x appartenente ad $RR$ : $\sum_{n=1}^infty x^n/(2+x^n)$ o anche ad esempio $RR$ : $\sum_{n=1}^infty (1+x^n)^(1/2) /x^n$. I I passi da fare sono: Lavorare sulla serie con x in modulo,cercare di analizzare il carattere generale della serie nei vari casi del modulo (se <1 >1 o =1) e capire se potrebbe esserci una possibile convergenza verificando se rispettata la condizione necessaria. Poi per i valori per i quali è rispettata, dimostrare la convergenza mediante equivalenze asintotiche o applicando il criterio della radice o rapporto . Giusto? Se ciò che ho detto è corretto i miei dubbi a riguardo sono : Perchè consideriamo x in modulo? Considerando che x varia in R potrebbe assumere anche valori negativi, ma considerando che l'esponenziale ammette solo basi positive il parametro negativo (base) sarebbe da considerarsi come un esponenziale (con base positiva ) ma con segno meno davanti e dunque come il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse giusto? Questo giustificherebbe anche il fatto poi che nell'analizzare il carattere generale della serie (cioè capire quando diventa infinitesimo o infinito al tendere di x -> infinito) andiamo a distinguere i casi del modulo |x|>1 o |x|<1 e non soltanto x compreso tra 0 e 1 (come farei se avessi ad esempio un esponenziale con base positiva e segno positivo) , perchè stiamo considerando appunto i diversi comportamenti sia per l'esponenziale con segno positivo, sia per il suo simmetrico ? Infine, dato che il criterio della radice viene applicato in convergenza assoluta, le informazioni che ci da sono da ritenersi valide soltanto per la convergenza , in quanto la convergenza assoluta implica anche quella semplice, e quindi sarebbe errato considerare valide anche per la convergenza le informazioni che ci fornisce. Spero di essermi spiegato bene ed esser riuscito a trasmettere i miei dubbi a riguardo, attendo un vostro feedback! Grazie
Risposte
"nico_engineering_dd":
ma considerando che l'esponenziale ammette solo basi positive il parametro negativo (base) sarebbe da considerarsi come un esponenziale (con base positiva ) ma con segno meno davanti e dunque come il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse giusto?
Cosa sono $(-\frac{1}{5})^n$ per $n=1,2,3$?
E sono due... Qual è la differenza tra potenza ed esponenziale?
@ghira: La tua immagine del profilo è davvero curiosa e mostra quanto possa essere fuorviante la notazione per giustapposizione della somma tra intero positivo e frazione.
@ghira: La tua immagine del profilo è davvero curiosa e mostra quanto possa essere fuorviante la notazione per giustapposizione della somma tra intero positivo e frazione.
@gugo82 l’esponenziale è una potenza con base fissata positiva
"ghira":
[quote="nico_engineering_dd"]ma considerando che l'esponenziale ammette solo basi positive il parametro negativo (base) sarebbe da considerarsi come un esponenziale (con base positiva ) ma con segno meno davanti e dunque come il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse giusto?
Cosa sono $(-\frac{1}{5})^n$ per $n=1,2,3$?[/quote]
Potenze con base negativa, giusto?
"nico_engineering_dd":
[quote="ghira"][quote="nico_engineering_dd"]ma considerando che l'esponenziale ammette solo basi positive il parametro negativo (base) sarebbe da considerarsi come un esponenziale (con base positiva ) ma con segno meno davanti e dunque come il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse giusto?
Cosa sono $(-\frac{1}{5})^n$ per $n=1,2,3$?[/quote]
Potenze con base negativa, giusto?[/quote]
E _quanto_ sono? Che risultati ottieni calcolandoli? Quanto valgono? Come vuoi che te lo chieda?
-1/5, 1/25 , -1/125
"nico_engineering_dd":
-1/5, 1/25 , -1/125
OK. Quindi hai detto delle cose molto strane nel primo messaggio, no?
"gugo82":
@ghira: La tua immagine del profilo è davvero curiosa e mostra quanto possa essere fuorviante la notazione per giustapposizione della somma tra intero positivo e frazione.
Non so quanto può interessare, ma https://www.youtube.com/watch?v=BGk4kVactWU
o https://youtu.be/CoIxXYXp2bI - più breve ma con un po' di cose diverse, e "dal vivo" per un pubblico di matematici ricreativi.
"ghira":
[quote="nico_engineering_dd"]-1/5, 1/25 , -1/125
OK. Quindi hai detto delle cose molto strane nel primo messaggio, no?[/quote]
Si, dovrei quindi considerarla più generalmente come una potenza con base negativa, sarebbe sbagliato parlare di esponenziale. Invece per l’utilizzo del modulo? Sto pensando che è necessario per assicurarci di studiare una serie sicuramente positiva e quindi consentendoci l’utilizzo dei criteri per le serie a termini positivi, perche comunque, variando il parametro in R potrebbe essere sia positiva sia negativa. Sbaglio?
"gugo82":
mostra quanto possa essere fuorviante la notazione per giustapposizione della somma tra intero positivo e frazione.
Questa notazione si può usare anche per i numeri negativi. $-1\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$ per esempio, solo che l'1 dovrebbe essere più grande.
"nico_engineering_dd":
Invece per l’utilizzo del modulo? Sto pensando che è necessario per assicurarci di studiare una serie sicuramente positiva e quindi consentendoci l’utilizzo dei criteri per le serie a termini positivi, perche comunque, variando il parametro in R potrebbe essere sia positiva sia negativa. Sbaglio?
Se una serie è assolutamente convergente, è convergente, quindi il modulo potrebbe servire. Ma per $x$ negativo magari la serie è convergente senza essere assolutamente convergente e devi provare altre tecniche.
Ciao nico_engineering_dd,
Per la prima serie proposta $\sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(2 + x^n) $ si vede subito che converge a $0$ per $x = 0$, mentre non converge per $x = \pm 1 $. Poi si potrebbe anche osservare che posto $a_n(x) := x^n/(2 + x^n) $ si ha:
$\lim_{n \to +\infty} a_n(x) = \lim_{n \to +\infty} 1/(1 + 2/x^n) $
Per la condizione necessaria di convergenza di Cauchy è necessario che l'ultimo limite scritto risulti nullo e ciò accade se $|x| < 1 $. Per $|x| < 1 $ si può scrivere:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(2 + x^n) \le \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/2 = 1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n = 1/2 (\sum_{n = 0}^{+\infty} x^n - 1) = 1/2 (1/(1 - x) - 1) = x/(2(1 - x)) $
Per la prima serie proposta $\sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(2 + x^n) $ si vede subito che converge a $0$ per $x = 0$, mentre non converge per $x = \pm 1 $. Poi si potrebbe anche osservare che posto $a_n(x) := x^n/(2 + x^n) $ si ha:
$\lim_{n \to +\infty} a_n(x) = \lim_{n \to +\infty} 1/(1 + 2/x^n) $
Per la condizione necessaria di convergenza di Cauchy è necessario che l'ultimo limite scritto risulti nullo e ciò accade se $|x| < 1 $. Per $|x| < 1 $ si può scrivere:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(2 + x^n) \le \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/2 = 1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n = 1/2 (\sum_{n = 0}^{+\infty} x^n - 1) = 1/2 (1/(1 - x) - 1) = x/(2(1 - x)) $
"pilloeffe":
Ciao nico_engineering_dd,
Per la prima serie proposta $\sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(2 + x^n) $ si vede subito che converge a $0$ per $x = 0$, mentre non converge per $x = \pm 1 $. Poi si potrebbe anche osservare che posto $a_n(x) := x^n/(2 + x^n) $ si ha:
$\lim_{n \to +\infty} a_n(x) = \lim_{n \to +\infty} 1/(1 + 2/x^n) $
Per la condizione necessaria di convergenza di Cauchy è necessario che l'ultimo limite scritto risulti nullo e ciò accade se $|x| < 1 $. Per $|x| < 1 $ si può scrivere:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(2 + x^n) \le \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/2 = 1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n = 1/2 (\sum_{n = 0}^{+\infty} x^n - 1) = 1/2 (1/(1 - x) - 1) = x/(2(1 - x)) $
Grazie innanzitutto per la risposta. Per quanto riguarda la non convergenza per x= +-1 mi trovo poichè ho ragionato pensando al limite per x-> infinito del carattere generale della serie. Ma per quanto riguarda la convergenza in x=0 come fai a concluderlo subito? Io direi, sempre studiando il carattere generale, che per $x=0$ e il limite fa zero dunque ci può essere una potenziale convergenza, ma poi penserei sempre di dimostrare tale convergenza aiutandomi con i criteri a disposizione, non capisco come fai a concluderlo subito. Inoltre per gli altri casi di convergenza stavo pensando altre soluzioni in quanto nel corso di studi non ci è stato spiegato il criterio di Cauchy, e ho ragionato in questo modo :
Considerando che in un intorno di infinito per $|x|>1 $ le potenze sono infiniti il limite tenderà a 1 e non c'è convergenza . Per $x = +-1$ non c'è convergenza e me ne accorgo semplicemente sostituendo nel limite . Per $|x|<1$ le potenze sono infinitesime dunque il limite farà 0 e può esserci convergenza , poi però la dimostro con il criterio della radice il quale mi darà come risultato un limite pari a $|x| $, e quindi sfruttando il criterio so che ci sarà convergenza quando $|x|<1 $ . Non credo che sia sbagliato il mio ragionamento, ma probabilmente non è applicabile cosi facilmente ad ogni serie di questo tipo in quanto ora avevo un termine generale abbastanza facile da capire come si comportasse in un intorno di infinito, permettendomi quindi di dedurre i diversi casi di analisi per la convergenza. Ma se non è cosi come faccio a dedurlo, c'è qualche passo standard per analizzare i vari casi in fretta?
ad esempio per questa come ragionereste?
$\sum_{n=1}^oo sin(x^n)/(1+x)^n$
Io ho pensato di applicarmi direttamente il criterio della radice riscrivendo $sin(x^n)$ come $ (1)^n$ in quanto funzione che oscilla tra -1 e 1 e di applicare il modulo alla x quindi fare $lim_(n->oo)((-1)^n/(1+|x|)^n)^(1/n)$ ma cosi' facendo dovrei arrivare a questo risultato $-1/(1+|x|) $ che mi risulta $ <1 AA R $ , ma non mi trovo con il risultato del libro
"nico_engineering_dd":
Ma per quanto riguarda la convergenza in x=0 come fai a concluderlo subito?
Quanto fa $\frac{0}{2+0}$?
È ovvio che faccia 0 , come ti dicevo infatti son d’accordo sul fatto che il limite converga, ma non è soltanto una condizione necessaria per la convergenza? Cioè la condizione necessaria sulla convergenza dice che se il limite di an tende a 0, allora la serie può convergere, ma non è detto che converga sicuramente, si deve confermare con l’utilizzo di qualche criterio. No?
Sommi infiniti termini che sono tutti 0.
@nico_engineering_dd: Per espandere la risposta di ghira e cercare di farti rispondere autonomamente al tuo dubbio, ti direi di scrivere la definizione di serie nel caso \(x=0\) per la serie da te proposta.
"Mephlip":
@nico_engineering_dd: Per espandere la risposta di ghira e cercare di farti rispondere autonomamente al tuo dubbio, ti direi di scrivere la definizione di serie nel caso \(x=0\) per la serie da te proposta.
Effettivamente il ragionamento torna, sommando infiniti termini che tendono a 0 poi avrò qualcosa che converge, ma prendendo ad esempio il caso della serie 1/x quest’ultima ha il limite che tende a 0 ma sapevo che non fosse convergente perché l’esponente della x è <1 quindi in questo caso come me lo spiegheresti?
"nico_engineering_dd":
ad esempio per questa come ragionereste?
$ \sum_{n=1}^{+\infty} sin(x^n)/(1+x)^n $
Per questa ragionerei innanzitutto osservando che per $x = 0 $ essa converge a $0$, poi considerando la serie assoluta e scrivendo la disuguaglianza seguente:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} |sin(x^n)|/|1+x|^n \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/|1+x|^n = \sum_{n=1}^{+\infty} |1/(1+x)|^n$
L'iultima serie scritta è una serie geometrica di ragione $ |1/(1+x)| $ che parte da $n = 1 $ che sappiamo essere convergente se $1/|1 + x| < 1 \iff |x + 1| > 1 \iff x < - 2 \vv x > 0 $
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