Dubbi su convergenza di serie numeriche con parametro ed esponenziali
Buonasera a tutti, da quando ho iniziato il corso di Analisi 1 ho sempre avuto molti dubbi su esercizi riguardanti le serie numeriche, in particolare quelle contenenti il parametro e la presenza di esponenziali.
Da ciò che ho capito per questa tipologia di esercizi in cui compare il parametro alla base degli esponenziali , esempio:
Studiare il carattere della seguente serie al variare del parametro x appartenente ad $RR$ : $\sum_{n=1}^infty x^n/(2+x^n)$ o anche ad esempio $RR$ : $\sum_{n=1}^infty (1+x^n)^(1/2) /x^n$. I I passi da fare sono: Lavorare sulla serie con x in modulo,cercare di analizzare il carattere generale della serie nei vari casi del modulo (se <1 >1 o =1) e capire se potrebbe esserci una possibile convergenza verificando se rispettata la condizione necessaria. Poi per i valori per i quali è rispettata, dimostrare la convergenza mediante equivalenze asintotiche o applicando il criterio della radice o rapporto . Giusto? Se ciò che ho detto è corretto i miei dubbi a riguardo sono : Perchè consideriamo x in modulo? Considerando che x varia in R potrebbe assumere anche valori negativi, ma considerando che l'esponenziale ammette solo basi positive il parametro negativo (base) sarebbe da considerarsi come un esponenziale (con base positiva ) ma con segno meno davanti e dunque come il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse giusto? Questo giustificherebbe anche il fatto poi che nell'analizzare il carattere generale della serie (cioè capire quando diventa infinitesimo o infinito al tendere di x -> infinito) andiamo a distinguere i casi del modulo |x|>1 o |x|<1 e non soltanto x compreso tra 0 e 1 (come farei se avessi ad esempio un esponenziale con base positiva e segno positivo) , perchè stiamo considerando appunto i diversi comportamenti sia per l'esponenziale con segno positivo, sia per il suo simmetrico ? Infine, dato che il criterio della radice viene applicato in convergenza assoluta, le informazioni che ci da sono da ritenersi valide soltanto per la convergenza , in quanto la convergenza assoluta implica anche quella semplice, e quindi sarebbe errato considerare valide anche per la convergenza le informazioni che ci fornisce. Spero di essermi spiegato bene ed esser riuscito a trasmettere i miei dubbi a riguardo, attendo un vostro feedback! Grazie
Da ciò che ho capito per questa tipologia di esercizi in cui compare il parametro alla base degli esponenziali , esempio:
Studiare il carattere della seguente serie al variare del parametro x appartenente ad $RR$ : $\sum_{n=1}^infty x^n/(2+x^n)$ o anche ad esempio $RR$ : $\sum_{n=1}^infty (1+x^n)^(1/2) /x^n$. I I passi da fare sono: Lavorare sulla serie con x in modulo,cercare di analizzare il carattere generale della serie nei vari casi del modulo (se <1 >1 o =1) e capire se potrebbe esserci una possibile convergenza verificando se rispettata la condizione necessaria. Poi per i valori per i quali è rispettata, dimostrare la convergenza mediante equivalenze asintotiche o applicando il criterio della radice o rapporto . Giusto? Se ciò che ho detto è corretto i miei dubbi a riguardo sono : Perchè consideriamo x in modulo? Considerando che x varia in R potrebbe assumere anche valori negativi, ma considerando che l'esponenziale ammette solo basi positive il parametro negativo (base) sarebbe da considerarsi come un esponenziale (con base positiva ) ma con segno meno davanti e dunque come il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse giusto? Questo giustificherebbe anche il fatto poi che nell'analizzare il carattere generale della serie (cioè capire quando diventa infinitesimo o infinito al tendere di x -> infinito) andiamo a distinguere i casi del modulo |x|>1 o |x|<1 e non soltanto x compreso tra 0 e 1 (come farei se avessi ad esempio un esponenziale con base positiva e segno positivo) , perchè stiamo considerando appunto i diversi comportamenti sia per l'esponenziale con segno positivo, sia per il suo simmetrico ? Infine, dato che il criterio della radice viene applicato in convergenza assoluta, le informazioni che ci da sono da ritenersi valide soltanto per la convergenza , in quanto la convergenza assoluta implica anche quella semplice, e quindi sarebbe errato considerare valide anche per la convergenza le informazioni che ci fornisce. Spero di essermi spiegato bene ed esser riuscito a trasmettere i miei dubbi a riguardo, attendo un vostro feedback! Grazie
Risposte
@nico_engineering_dd: Dove ha scritto ghira di sommare termini che tendono a \(0\)? Non ha detto ciò, quindi non capisco il tuo riferimento nella risposta. Ribadisco:
(i) scrivi la definizione di serie nel caso particolare della tua serie;
(ii) poni \(x=0\).
Cosa succede?
(i) scrivi la definizione di serie nel caso particolare della tua serie;
(ii) poni \(x=0\).
Cosa succede?
"nico_engineering_dd":
È ovvio che faccia 0 , come ti dicevo infatti son d’accordo sul fatto che il limite converga, ma non è soltanto una condizione necessaria per la convergenza? Cioè la condizione necessaria sulla convergenza dice che se il limite di an tende a 0, allora la serie può convergere, ma non è detto che converga sicuramente, si deve confermare con l’utilizzo di qualche criterio. No?
Se proprio dobbiamo:
Parlaci della successione delle somme parziali della tua serie quando $x=0$.
"gugo82":
E sono due...
Due cosa? E chi o cosa è statto il primo dei due se qui abbiamo il secondo?
"ghira":
[quote="gugo82"]E sono due...
Due cosa? E chi o cosa è statto il primo dei due se qui abbiamo il secondo?[/quote]
Qui.
Perdindirindina.
"pilloeffe":
[quote="nico_engineering_dd"]ad esempio per questa come ragionereste?
$ \sum_{n=1}^{+\infty} sin(x^n)/(1+x)^n $
Per questa ragionerei innanzitutto osservando che per $x = 0 $ essa converge a $0$, poi considerando la serie assoluta e scrivendo la disuguaglianza seguente:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} |sin(x^n)|/|1+x|^n \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/|1+x|^n = \sum_{n=1}^{+\infty} |1/(1+x)|^n$
L'iultima serie scritta è una serie geometrica di ragione $ |1/(1+x)| $ che parte da $n = 1 $ che sappiamo essere convergente se $1/|1 + x| < 1 \iff |x + 1| > 1 \iff x < - 2 \vv x > 0 $[/quote]
Ti ringrazio per la risposta, avrei un dubbio, quando ci consideriamo la serie assoluta il modulo va messo su tutto il termine an o soltanto nelle parti che ci rendono il termine generale non di segno costante? ad esempio se avessimo avuto $(-1)^n/(1+x^n)$ anziche tutto il denominatore $(-1)^n/((1+x)^n)$ avrei dovuto considerare comunque la serie assoluta come $|(-1)/(1+x)|^n$ o avrei dovuto considerare $|(-1)^n|/(1+|x|^n)^$
"nico_engineering_dd":
Ti ringrazio per la risposta
Prego.
"nico_engineering_dd":
ad esempio se avessimo avuto $ (-1)^n/(1+x^n) $
Non so se qui manca una parentesi, ma comunque il valore assoluto va messo su tutto il termine $a_n $:
$|a_n| = | (-1)^n/(1+x^n) | = 1/|1+x^n | $
Se invece è $a_n = (-1)^n/(1+x)^n $ allora $|a_n| = | (-1)^n/(1+x)^n | = (1/|x + 1|)^n $
"nico_engineering_dd":
(roba)
E il valore di quella serie di qualche messaggio fa per $x=0$?
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