Dubbi su alcuni esercizi di analisi 1
Salve a tutti,sono nuovo,mi sono iscritto sperando di riuscire a risolvere dei dubbi che mi sono venuti facendo degli esercizi di analisi per preparami all'esame.
Premetto che sono un po' arruginito con i calcoli visto che non ne facevo da un anno e prima di tutto volevo sapere se ho svolto bene l'esercizio che sto per scrivere:
$ ln ( (x+4)/(3x+2) ) $
i. Determinare l'insieme di definizione
ii. Stabilire se si tratta di una funzione iniettiva e,in caso affermativo,determinarne la funzione inversa.
Svolgimento:
i. ho posto l'argomento del logaritmo > 0 e il denominatore della frazione != 0,ho svolto la disequazione e l'equazione e ho messo a sistema le soluzioni,l'intervallo di definizione della funzione è $ I: (-oo , -4) uu (-2/3 , +oo ) $
ii. ho verificato che la funzione fosse strettamente crescente,perciò ho posto la derivata prima f '(x) > 0 ed è venuto fuori che la funzione presenta un punto di minimo assoluto per x = -4 e un punto di massimo assoluto per x = -2/3
Ora,dopo questo primo dubbio scriverò due esercizi poco chiari già dalla consegna:
Sia $ F(x) = ( 1 + x^2)sin x -1 $
i. Dimostrare che l'equazione f(x) = 0 ammette una soluzione nell'intervallo (0, π/2).
ii. Dimostrare che l'equazione f(x) = 0 ammette infinite soluzioni in R.
Per quando riguarda il primo punto sono propenso ad utilizzare il teorema di bolzano,è giusto o sto sbagliando?
Per quanto riguarda il secondo punto non ne ho proprio idea,teorema dei valori intermedi forse?
Ora l'ultimo esercizio:
Sia $ F(x) = e^{-3x^4 -4x^3 + 12x^2} $
i. Determinare i punti critici della funzione f e stabilire se si tratta di punti di massimo o di minimo.
ii. Dimostrare il massimo ed il minimo della funzione f nell'intervallo [-2,1]
Per quanto riguarda il primo punto,se pongo f '(x) = 0 per trovare i punti stazionari mi esce una roba astronomica( e mi blocco),ovvero:
$ F'(x) =- 12xe^(-3x^4 -4x^3 +12x^2 )*(x^2 + x - 2) = 0 $
Per quanto riguarda il secondo punto non ho proprio la minima idea di cosa vada fatto
Spero che qualcuno qui su questo forum riesca ad aiutarmi.
Premetto che sono un po' arruginito con i calcoli visto che non ne facevo da un anno e prima di tutto volevo sapere se ho svolto bene l'esercizio che sto per scrivere:
$ ln ( (x+4)/(3x+2) ) $
i. Determinare l'insieme di definizione
ii. Stabilire se si tratta di una funzione iniettiva e,in caso affermativo,determinarne la funzione inversa.
Svolgimento:
i. ho posto l'argomento del logaritmo > 0 e il denominatore della frazione != 0,ho svolto la disequazione e l'equazione e ho messo a sistema le soluzioni,l'intervallo di definizione della funzione è $ I: (-oo , -4) uu (-2/3 , +oo ) $
ii. ho verificato che la funzione fosse strettamente crescente,perciò ho posto la derivata prima f '(x) > 0 ed è venuto fuori che la funzione presenta un punto di minimo assoluto per x = -4 e un punto di massimo assoluto per x = -2/3
Ora,dopo questo primo dubbio scriverò due esercizi poco chiari già dalla consegna:
Sia $ F(x) = ( 1 + x^2)sin x -1 $
i. Dimostrare che l'equazione f(x) = 0 ammette una soluzione nell'intervallo (0, π/2).
ii. Dimostrare che l'equazione f(x) = 0 ammette infinite soluzioni in R.
Per quando riguarda il primo punto sono propenso ad utilizzare il teorema di bolzano,è giusto o sto sbagliando?
Per quanto riguarda il secondo punto non ne ho proprio idea,teorema dei valori intermedi forse?
Ora l'ultimo esercizio:
Sia $ F(x) = e^{-3x^4 -4x^3 + 12x^2} $
i. Determinare i punti critici della funzione f e stabilire se si tratta di punti di massimo o di minimo.
ii. Dimostrare il massimo ed il minimo della funzione f nell'intervallo [-2,1]
Per quanto riguarda il primo punto,se pongo f '(x) = 0 per trovare i punti stazionari mi esce una roba astronomica( e mi blocco),ovvero:
$ F'(x) =- 12xe^(-3x^4 -4x^3 +12x^2 )*(x^2 + x - 2) = 0 $
Per quanto riguarda il secondo punto non ho proprio la minima idea di cosa vada fatto
Spero che qualcuno qui su questo forum riesca ad aiutarmi.
Risposte
qualcuno mi aiuta?
"Andrew Ryan":
lo studio del segno nei due intervalli lo hai fatto su f(x)? quindi se ho capito bene nel primo intervallo $ [0,pi/2] , f(0)*f(pi/2) > 0 $
Allora andiamo in ordine:
1) Se $f(0)*f(pi/2)>0$ questo non vuol dire che non ci sono punti dove f(c)=0; ovvero se neghi una ipotesi del teorema non puoi implicare la negazione della tesi. Per dire che non ci sono punti in quell'intervallo basta che ti studi questa equazione:
$f(x)=(1+x^2)cos(x)+1=0$
che puoi riscrivere come $cos(x)=(-1)/(1+x^2)$; il membro di destrà è negativo e quindi tutte le soluzioni saranno swituate in un intervallo dove il coseno è negativo; quindi non in $[0,pi/2]$.
Quindi è così che si conclude che non ci sono punti.
"Andrew Ryan":
mentre nel secondo intervallo $ [pi/2,pi] , f(pi/2)*f(pi) < 0 $ e quindi proprio da quest'ultimo sappiamo che esiste almeno un punto c.giusto? successivamente studiando l'andamento della derivata e notando che questa è strettamente negativa,il punto c è unico e quindi la prima dimostrazione è stata fatta.
Si questo va bene!
"Andrew Ryan":
ma allora a questo punto non era la stessa cosa utilizzando l'intero intervallo $ (0,pi) $ , $ f(0)*f(pi) < 0 $ perchè dalla moltiplicazione viene $ -2pi^2 $
Questo ti permette di dire che almeno un punto esiste ma non che è unico proprio perchè su tutto $[0,pi]$ la f non è monotona, quindi ci vuole qualche altro ragionamento.
"Andrew Ryan":
Per il punto 2 non ho proprio idea di cosa fare...
Per il punto 2 ci sono diverse maniere di procedere; ad esempio potresti far vedere che le ipotesi del teorema 1 sono verificate una infinità di volte.
Ad esempio se consideri i punti $x_n=2n pi$ e $y_n=2 n pi + pi$ hai che $f(x_n)>0$ e $f(y_n)<0$
quindi in ogni intervallo $(x_n,y_n)$ esiste almeno una soluzione; facendo muovere n ne hai infinite.
Il mio post non centra niente, ma vorrei ringraziare DajeForte e Andrew Ryan che mi hanno chiarito molte cose per il prossimo appello.
"fair":
Il mio post non centra niente, ma vorrei ringraziare DajeForte e Andrew Ryan che mi hanno chiarito molte cose per il prossimo appello.
Fa piacere un po' di riconoscenza...in bocca al lupo per l'esame.
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