Dubbi su alcuni esercizi di analisi 1

[Andrew Ryan]

Salve a tutti,sono nuovo,mi sono iscritto sperando di riuscire a risolvere dei dubbi che mi sono venuti facendo degli esercizi di analisi per preparami all'esame.

Premetto che sono un po' arruginito con i calcoli visto che non ne facevo da un anno e prima di tutto volevo sapere se ho svolto bene l'esercizio che sto per scrivere:

$ ln ( (x+4)/(3x+2) ) $
i. Determinare l'insieme di definizione
ii. Stabilire se si tratta di una funzione iniettiva e,in caso affermativo,determinarne la funzione inversa.

Svolgimento:

i. ho posto l'argomento del logaritmo > 0 e il denominatore della frazione != 0,ho svolto la disequazione e l'equazione e ho messo a sistema le soluzioni,l'intervallo di definizione della funzione è $ I: (-oo , -4) uu (-2/3 , +oo ) $
ii. ho verificato che la funzione fosse strettamente crescente,perciò ho posto la derivata prima f '(x) > 0 ed è venuto fuori che la funzione presenta un punto di minimo assoluto per x = -4 e un punto di massimo assoluto per x = -2/3

Ora,dopo questo primo dubbio scriverò due esercizi poco chiari già dalla consegna:

Sia $ F(x) = ( 1 + x^2)sin x -1 $
i. Dimostrare che l'equazione f(x) = 0 ammette una soluzione nell'intervallo (0, π/2).
ii. Dimostrare che l'equazione f(x) = 0 ammette infinite soluzioni in R.

Per quando riguarda il primo punto sono propenso ad utilizzare il teorema di bolzano,è giusto o sto sbagliando?
Per quanto riguarda il secondo punto non ne ho proprio idea,teorema dei valori intermedi forse?

Ora l'ultimo esercizio:

Sia $ F(x) = e^{-3x^4 -4x^3 + 12x^2} $
i. Determinare i punti critici della funzione f e stabilire se si tratta di punti di massimo o di minimo.
ii. Dimostrare il massimo ed il minimo della funzione f nell'intervallo [-2,1]

Per quanto riguarda il primo punto,se pongo f '(x) = 0 per trovare i punti stazionari mi esce una roba astronomica( e mi blocco),ovvero:

$ F'(x) =- 12xe^(-3x^4 -4x^3 +12x^2 )*(x^2 + x - 2) = 0 $

Per quanto riguarda il secondo punto non ho proprio la minima idea di cosa vada fatto

Spero che qualcuno qui su questo forum riesca ad aiutarmi.

[Camillo]

Ultimo esercizio : la derivata che hai calcolato è corretta.
Adesso devi risolvere l'equazione $ F'(x)= -12x e^(-3x^4-4x^3+12x^2)(x^2+x-2) =0 $ che non presenta difficoltà in quanto $ e^(g(x)) > 0 , AAx in RR$.
Trovati i punti critici e determinato se sono max o min relativi ( e quanto valgono ) è semplice rispondere all'ultima domanda.

[Andrew Ryan]

ti ringrazio,sai aiutarmi anche con il secondo esercizio?

[Andrew Ryan]

Ho svolto l'ultimo esercizio,i punti critici sono x = -2 v x = 0 v x = 1 e secondo i miei calcoli (da verificare se sono corretti) la funzione è positiva x < -2 e x > 1 (soluzioni dell'equazione di secondo grado $ x^2 +x -2 $ ) e per x < 0 che è la soluzione della disequazione $ -12xe^{-3x^4 -4x^3 + 12x^2} > 0 $ ,ho unito le soluzioni ed è venuto fuori che in x=-2 c'è un punto di massimo relativo,in x = 0 un punto di minimo relativo e in x = 1 un punto di massimo relativo.

Ora se è tutto corretto,la risposta alla seconda domanda dell'ultimo esercizio è solo x = 0 come punto di minimo assoluto,è corretto?

[Camillo]

$F'(x) >0 $ per $x<-2 ; 0 La seconda domanda chiede, nell'intervallo $[-2,1]$ il max e il min ( assoluti).
Si ha : $ F(-2)= e^(32) ; F(0)= 1 ; F(1)=e^5 $ per cui in questo intervallo il max assoluto si ha per $x=-2 $ e vale $e^(32)$mentre il minimo assoluto si ha per $x= 0 $ e vale $1$.

[Andrew Ryan]

"Camillo":$F'(x) >0 $ per $x<-2 ; 0 La seconda domanda chiede, nell'intervallo $[-2,1]$ il max e il min ( assoluti).
Si ha : $ F(-2)= e^(32) ; F(0)= 1 ; F(1)=e^5 $ per cui in questo intervallo il max assoluto si ha per $x=-2 $ e vale $e^(32)$mentre il minimo assoluto si ha per $x= 0 $ e vale $1$.

ti ringrazio per l'aiuto,sei stato chiarissimo.Non è che gentilmente potresti darmi qualche aiuto anche con il secondo esercizio?su quello sono bloccato proprio,il problema è che anche provando non ho le soluzioni dell'esercizio e quindi non so se lo svolgo correttamente.

[ciampax]

Per il secondo esercizio, devi usare il teorema di esistenza degli zeri per funzioni monotone, che afferma quanto segue:

Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione continua su $[a,b]$, derivabile su $(a,b)$, e monotona (crescente o decresente) tale che $f(a)\cdot f(b)<0$ (assume valori di segno discorde agli estremi dell'intervallo). Allora esiste un unico $c\in(a,b)$ tale che $f(c)=0$.

Prova un po' a ragionarci su.

[Andrew Ryan]

"ciampax":Per il secondo esercizio, devi usare il teorema di esistenza degli zeri per funzioni monotone, che afferma quanto segue:

Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione continua su $[a,b]$, derivabile su $(a,b)$, e monotona (crescente o decresente) tale che $f(a)\cdot f(b)<0$ (assume valori di segno discorde agli estremi dell'intervallo). Allora esiste un unico $c\in(a,b)$ tale che $f(c)=0$.

Prova un po' a ragionarci su.

Ho provato a svolgere l'esercizio,allora:




$ F(x)=(1 + x^2)*sin(x) - 1 $

$ F(0) = -1 $

F(π/2) = 0

F(0)*F(π/2) = 0 e quindi non è < 0,da questo segue che l'intervallo (0,π/2) non ammette una soluzione

Per quanto riguarda il secondo punto,stessa cosa visto che F(a)*F(b) non è strettamente minore di 0.

Ho svolto l'esercizio correttamente oppure ho sbagliato alla grande?

[DajeForte]

Se c'e scritto dimostrare che bla bla bla vuol dire che la tesi deve essere vera.

$F(pi/2)=(1+((pi)/2)^2)sin(pi/2)-1=((pi)/2)^2>0$

edit: per fare il pi greco scrivi pi dentro l'editor delle formula

[Camillo]

Quindi tra $0 $ e $pi/2$ l'equazione $F(x)=0 $ ha almeno una soluzione ; ma il problema dice di dimostrare che è una sola ...Esamina allora il segno della derivata cioè di $F'(x) $ nello stesso intervallo, se il segno sarà costante allora la funzione $F(x) $ sarà monotona...

[Andrew Ryan]

"Camillo":Quindi tra $0 $ e $pi/2$ l'equazione $F(x)=0 $ ha almeno una soluzione ; ma il problema dice di dimostrare che è una sola ...Esamina allora il segno della derivata cioè di $F'(x) $ nello stesso intervallo, se il segno sarà costante allora la funzione $F(x) $ sarà monotona...

nel caso fosse monotona so che esiste un punto c tale che $ F(c) = 0 $ e quindi ho dimostrato la tesi? o devo calcolarmi anche il punto c ? li non lo dice...

P.S: mi sono reso conto dell'errore nel calcolo di $ F(pi/2) $,praticamente mi sono dimenticato di moltiplicare un membro del polinomio fra parentesi

P..S.2: Visto che i miei dubbi sono stati chiariti quasi tutti,potete dirmi se almeno il primo esercizio l'ho fatto bene senza sbagliare,io ho controllato anche con derive e mi sembra di aver proceduto correttamente però un ulteriore conferma non fa mai male

[Camillo]

Se dimostri che la funzione è monotona in quell'intervallo hai dimostrato la tesi cioè che il punto $c $ è unico.
Non è richiesto di determinare il punto $c $ ; per farlo si dovrebbero usare metodi di Analisi numerica.

[Andrew Ryan]

ho un altro dubbio su un nuovo esercizio,simile ad uno già visto qui sul topic.

Ho questa funzione:

$ F(x) = e^{-x^4 + 4x^3 -4x^2} $

Devo trovare il massimo e il minimo di f nell'intervallo [0,2]

ho trovato i punti in cui si annulla la derivata prima della funzione,ovvero per x=0, $ x = (-3-sqrt(17))/2 $ e $ x = (-3+sqrt(17))/2 $

successivamente mi sono calcolato i valori di f per x=0 e per x=2 ottenendo F(0)=1 e F(2)=1 e il valore di f per $ x = (-3+sqrt(17))/2 $ (che approssimativamente equivale a 1,78) ottenendo $ F((-3+sqrt(17))/2) = 0.52 $

se ho svolto correttamente i calcoli dovrei avere in 1 il massimo e in 0.52 il minimo,confermate?

[Howard_Wolowitz]

Data [tex]F(x)={e}^{-x^4+4x^3-4x^2}[/tex] ottengo quale derivata prima la funzione [tex]F'(x)=(-4x^3+12x^2-8x){e}^{-x^4+4x^3-4x^2}=-4x(x-2)(x-1){e}^{-x^4+4x^3-4x^2}[/tex] pertanto [tex]F(x)[/tex] risulta essere:
- crescente per [tex](-\infty;0) \cup (1;2)[/tex];
- decrescente per [tex](0;1) \cup (2;+\infty)[/tex];
- avere un massimo in [tex]x=0[/tex] ed in [tex]x=2[/tex];
- avere un minimo in [tex]x=1[/tex].
I valori della funzione nei punti critici sono [tex]F(0)=1[/tex], [tex]F(1)=\frac{1}{e}[/tex] e [tex]F(2)=e^{32}[/tex].
Quindi massimo assoluto è [tex]e^{32}[/tex] e minimo assoluto è [tex]\frac{1}{e}[/tex].
Per quanto riguarda il primo esercizio io ottengo i seguenti risultati:
- funzione [tex]f(x)=ln(\frac{x+4}{3x+2})[/tex] definita per [tex](-\infty;-4)\cup(-2/3;+\infty)[/tex];
- la derivata prima risulta essere [tex]f^{\prime}(x)=\frac{-10}{(x+4)(3x+2)}[/tex] la quale ha il medesimo dominio della funzione [tex]f(x)[/tex] ed è decrescente per tutto il dominio di definizione quindi monotona, biunivoca ed invertibile.
[tex]y=ln(\frac{x+4}{3x+2})\Rightarrow x=ln(\frac{y+4}{3y+2}) \Rightarrow e^x=\frac{y+4}{3y+2}[/tex] mediante opportuni passaggi algebrici otteniamo che l'inversa è [tex]y=\frac{2e^x-4}{1-3e^x}[/tex].
Ragazzi se ho sbagliato correggetemi.

[Andrew Ryan]

"Howard_Wolowitz":Data [tex]F(x)={e}^{-x^4+4x^3-4x^2}[/tex] ottengo quale derivata prima la funzione [tex]F'(x)=(-4x^3+12x^2-8x){e}^{-x^4+4x^3-4x^2}=-4x(x-2)(x-1){e}^{-x^4+4x^3-4x^2}[/tex] pertanto [tex]F(x)[/tex] risulta essere:
- crescente per [tex](-\infty;0) \cup (1;2)[/tex];
- decrescente per [tex](0;1) \cup (2;+\infty)[/tex];
- avere un massimo in [tex]x=0[/tex] ed in [tex]x=2[/tex];
- avere un minimo in [tex]x=1[/tex].
I valori della funzione nei punti critici sono [tex]F(0)=1[/tex], [tex]F(1)=\frac{1}{e}[/tex] e [tex]F(2)=e^{32}[/tex].
Quindi massimo assoluto è [tex]e^{32}[/tex] e minimo assoluto è [tex]\frac{1}{e}[/tex].
Per quanto riguarda il primo esercizio io ottengo i seguenti risultati:
- funzione [tex]f(x)=ln(\frac{x+4}{3x+2})[/tex] definita per [tex](-\infty;-4)\cup(-2/3;+\infty)[/tex];
- la derivata prima risulta essere [tex]f^{\prime}(x)=\frac{-10}{(x+4)(3x+2)}[/tex] la quale ha il medesimo dominio della funzione [tex]f(x)[/tex] ed è decrescente per tutto il dominio di definizione quindi monotona, biunivoca ed invertibile.
[tex]y=ln(\frac{x+4}{3x+2})\Rightarrow x=ln(\frac{y+4}{3y+2}) \Rightarrow e^x=\frac{y+4}{3y+2}[/tex] mediante opportuni passaggi algebrici otteniamo che l'inversa è [tex]y=\frac{2e^x-4}{1-3e^x}[/tex].
Ragazzi se ho sbagliato correggetemi.

grazie per le delucidazioni sul primo esercizio dell'OP,comunque non sono molto convinto sulla soluzione di quest'ultimo che ho postato,utilizzando derive quando sostituisco la variabile x di F con 2 mi da come risultato 1,quindi F(2) = 1,anche dal grafico la funzione in 0 e 2 vale 1

[DajeForte]

$F(x)=e^(-(x^2-2x)^2)$, quindi la funzione assume valori, per ogni x nei reali, in (0,1]

L'esponenziale è una funzione monotona crescente, quindi massimizzare (minimizare) la funzione equivale a farlo per il suo argomento (che è: $-(x^2-2x)^2$).

Questo in [0,2] assume massimo in 0 ed in 2 dove vale 0, e minimo in 1 dove vale -1.

La F di conseguenza assume massimo in 0 ed in 2 dove vale 1, e minimo in 1 dove vale $e^(-1)$
Nota che 0 ed 2 sono i massimi assoluti su tutto R; 1 è solo un minimo locale.

[Andrew Ryan]

ho bisogno nuovamente di aiuto,spero sia l'ultima volta anche perchè ho quasi tutto chiaro

ho questo esercizio:

$ F(x) = (1 + x^2)cos x + 1 $

1.dimostrare che l'equazione $ f(x) = 0 $ ammette una soluzione nell'intervallo $ (0,pi) $
2.dimostrare che l'equazione $ f(x) = 0 $ ammette infinite soluzioni in R.

svolgimento:

1. ho calcolato $ f(0) = 2 $ e $ f(pi) = -pi^2 $ e per il teorema degli zeri segue che $ f(0)*f(pi)<0 $ quindi ho dimostrato ciò che chiedeva il primo punto.

2. al punto 2 mi trovo un attimo in difficoltà,visto che devo verificare se la funzione è monotona,una volta calcolata la derivata prima,ovvero $ f'(x) = 2x*cos x - (1 + x^2)*sin x $ ,e posta la condizione $ f'(x) > 0 $ ,ho proceduto così come segue:

a) $ 2x*cosx > 0 $ quando $ x>0 $ e $ 0<=x

b) $ (1 + x^2) > 0 $ sempre verificata, $ sin x>0 $ quando $ 0
a questo punto ho unito le soluzioni del punto a e b però non ho ottenuto quello che stavo cercando,perciò ho sbagliato senz'altro,qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?

[DajeForte]

Aspetta non ho capito quello che vuoi fare.

I teoremi che divi usare sono 2.

1) Data una funzione $f$ da $[a,b]$ in $RR$, continua in $[a,b]$ e tale che $f(a)f(b)<0$ allora esiste un $c in (a,b)$ tale che $f(c)=0$.
Ora il teorema non afferma che questo sia unico ma che almeno uno ne esiste.

2) Se alle condizioni di prima aggiungiamo che la funzione è strettamente monotona allora tale c è unico.

Analiziamo il primo tuo problema ovvero di dimostrare che esiste una sola soluzione di f=0 in $(0,pi)$.
Hai osservato che $f(0)f(pi)<0$ la funzione è continua in $[0,pi]$ quindi dal teorema sappiamo che almune un c esiste.
Rimane da dimostrare che tale è unico.
Come fare? Studiare la monotonia.
Deriviamo f: otteniamo $f'(x)=2x cos(x) -(1+x^2)sin(x)$
Qua nasce un problemino perchè nell'intervallo considerato la funzione non è monotona.
Infatti $f'$ per x>0 piccolo è positiva, poi diventa negaitiva.
Come lo fai a vedere, con la derivata della derivata prima.
Sai continuare ora? devi fare un po' di considerazioni per ricondurti alle ipotesi del teorema 2).

Per il secondo punto devi far vedere che sono sempre verificate (in un certo senso) le ipotesi del teorema 1)
Hai idee?

[Andrew Ryan]

mi stai dicendo che al secondo teorema per il punto 1 per verificare se la funzione è monotona è necessario utilizzare la derivata seconda di F ? avrei comunque di mezzo il seno e il coseno,basta che verifico quando questi sono >0 ? come in teoria ho fatto nel post sopra anche se poi non ho trovato la soluzione?

per il punto 2,se la funzione non è strettamente monotona vuol dire che ci sono piu punti c,però non mi ritrovo su questa cosa delle infinite soluzioni.

Comunque non ho capito molto bene,poi a quest'ora è un po' tardi,magari domani mattina a mente fresca...

[DajeForte]

$f(x)=(1+x^2) \cos(x) +1$.
$f'(x)=2x cos(x) -(1+x^2) sin(x)$

Dobbiamo dimostrare che esiste un unico $x$ in $(0,\pi)$ tale che $f(x)=0$;

Allora: f è continua in $[0,pi]$ ed $f(0)f(pi)<0$. Dunque esiste almeno un x che soddisfa l'equazione (questo è il teorema 1)
Dobbiamo vedere che è unico (utilizzado il teorema 2).
Se ti studi la derivata che ti ho scritto prima scopri che la f non è strettamente monotona; infatti prima cresce e poi decresce.

[inciso] io non sono riuscito a capire che tipo di ragionamento fai per studiare il segno della derivata; io per vederlo la ho riderivata[/inciso]

Sembrerebbe siamo fregati; no! Puoi fare così: in $[0,(pi)/2]$ la funzione è sempre positiva (perchè il coseno è maggiore uguale di 0). Quindi non avrà una souzione in questo insieme. Ora dunque ricerchiamo di applicare (vedere se le ipotesi sono vere) il teorema 2 nell'intervallo $[(pi)/2,pi]$; è facile vedere che le hp sono vere; in particolare la derivata è strettamente negativa perchè il coseno è negativo ed il seno è positivo e non si annullano contemporaneamnete.

Questo conclude il punto 1).

Prova a pensare al due poi fai sapere.
Ciao

[Andrew Ryan]

"DajeForte":$f(x)=(1+x^2) \cos(x) +1$.
$f'(x)=2x cos(x) -(1+x^2) sin(x)$

Dobbiamo dimostrare che esiste un unico $x$ in $(0,\pi)$ tale che $f(x)=0$;

Allora: f è continua in $[0,pi]$ ed $f(0)f(pi)<0$. Dunque esiste almeno un x che soddisfa l'equazione (questo è il teorema 1)
Dobbiamo vedere che è unico (utilizzado il teorema 2).
Se ti studi la derivata che ti ho scritto prima scopri che la f non è strettamente monotona; infatti prima cresce e poi decresce.

[inciso] io non sono riuscito a capire che tipo di ragionamento fai per studiare il segno della derivata; io per vederlo la ho riderivata[/inciso]

Sembrerebbe siamo fregati; no! Puoi fare così: in $[0,(pi)/2]$ la funzione è sempre positiva (perchè il coseno è maggiore uguale di 0). Quindi non avrà una souzione in questo insieme. Ora dunque ricerchiamo di applicare (vedere se le ipotesi sono vere) il teorema 2 nell'intervallo $[(pi)/2,pi]$; è facile vedere che le hp sono vere; in particolare la derivata è strettamente negativa perchè il coseno è negativo ed il seno è positivo e non si annullano contemporaneamnete.

Questo conclude il punto 1).

Prova a pensare al due poi fai sapere.
Ciao

lo studio del segno nei due intervalli lo hai fatto su f(x)? quindi se ho capito bene nel primo intervallo $ [0,pi/2] , f(0)*f(pi/2) > 0 $ mentre nel secondo intervallo $ [pi/2,pi] , f(pi/2)*f(pi) < 0 $ e quindi proprio da quest'ultimo sappiamo che esiste almeno un punto c.giusto? successivamente studiando l'andamento della derivata e notando che questa è strettamente negativa,il punto c è unico e quindi la prima dimostrazione è stata fatta.

ma allora a questo punto non era la stessa cosa utilizzando l'intero intervallo $ (0,pi) $ , $ f(0)*f(pi) < 0 $ perchè dalla moltiplicazione viene $ -2pi^2 $

Per il punto 2 non ho proprio idea di cosa fare...