Dubbi riguardanti problemi di Cauchy
Ho alcuni dubbi riguardanti i problemi di Cauchy e forse potreste aiutarmi a fare chiarezza:
Poniamo di avere un semplice problema del tipo Y'-2Y=8 con y(0)=0 ad esempio, se ho ben capito questo problema una volta risolto mi permette di trovare una soluzione particolare che soddisfa sia l'equazione differenziale che le condizioni iniziali date. (in sostanza quindi riesco a trovare una funzione particolare presa dalla famiglia di funzioni che ottengo dall' integrale generale giusto?)
Ora non ho alcun problema a risolvere il P.C. appena dato ma se io volessi dimostrare L'effettiva esistenza e unicità della soluzione trovata (in sostanza voglio dimostrare che il teorema di Peano-Picard è soddisfatto in tutte le sue condizioni) come dovrei fare?
Inoltre se mi venisse chiesto di dire se il problema di Cauchy dato è ben posto o meno mi sarebbe sufficiente dire che dato che l'eq. differenziale e' del 1° ordine e mi viene data una sola condizione iniziale posso dire che il problema è ben posto?
(mentre se ad esempio avessi avuto una eq. Diff. del 2° ordine avrei avuto bisogno di 2 condizioni iniziali per dire che il problema di Cauchy è ben posto e così via per equazioni di ordine n)
Poniamo di avere un semplice problema del tipo Y'-2Y=8 con y(0)=0 ad esempio, se ho ben capito questo problema una volta risolto mi permette di trovare una soluzione particolare che soddisfa sia l'equazione differenziale che le condizioni iniziali date. (in sostanza quindi riesco a trovare una funzione particolare presa dalla famiglia di funzioni che ottengo dall' integrale generale giusto?)
Ora non ho alcun problema a risolvere il P.C. appena dato ma se io volessi dimostrare L'effettiva esistenza e unicità della soluzione trovata (in sostanza voglio dimostrare che il teorema di Peano-Picard è soddisfatto in tutte le sue condizioni) come dovrei fare?
Inoltre se mi venisse chiesto di dire se il problema di Cauchy dato è ben posto o meno mi sarebbe sufficiente dire che dato che l'eq. differenziale e' del 1° ordine e mi viene data una sola condizione iniziale posso dire che il problema è ben posto?
(mentre se ad esempio avessi avuto una eq. Diff. del 2° ordine avrei avuto bisogno di 2 condizioni iniziali per dire che il problema di Cauchy è ben posto e così via per equazioni di ordine n)
Risposte
"davewave":
ma se io volessi dimostrare L'effettiva esistenza e unicità della soluzione trovata (in sostanza voglio dimostrare che il teorema di Peano-Picard è soddisfatto in tutte le sue condizioni) come dovrei fare?
Ma che domanda è? :S
Prendi l'elenco delle ipotesi e controlla che siano soddisfatte!
ok ma fondamentalmente non ho ben capito l'ipotesi sulla lipschitzianità, non è tanto una domanda sul "come procedere" ma più che altro vorrei una conferma che le considerazioni che sto facendo siano giuste e complete per essere sicuro di non aver tralasciato nulla
Se non ti è chiaro cosa significhi che una funzione è Lipschitziana, allora è un altro conto.
È questo il dubbio?
La definizione la sai?
Prova a scrivere un esempio.
È questo il dubbio?
La definizione la sai?
Prova a scrivere un esempio.
dunque correggimi se sbaglio, io sò che una funzione lipschitziana ha il rapporto tra variazione di ordinata e variazione di ascissa che non può mai superare un valore fissato K detto costante di Lipschitz (se prendo per esempio k=1 allora tracciando le rette y=kx e y=-kx in qualsiasi punto del grafico di F esso sarà sempre confinato all'esterno dell' area interna data dall' intersezione delle 2 rette).
per soddisfare l'ipotesi sulla lipschitzianità del teorema di peano:
"f(x,y) deve essere lispchitziana rispetto a y uniformemente rispetto alla variabile x" quest'ultima proposizione non mi è chiara e non sò come muoverti se ad esempio mi si dovesse porre una domanda come questa (è un testo di un esercitazione che ho trovato oggi)
dopo aver enunciato il teorema di peano applicarlo al seguente problema
y'=3(y/x)-6(x^3)(e^(x^2))y^(2/3) con y(1)=0
per soddisfare l'ipotesi sulla lipschitzianità del teorema di peano:
"f(x,y) deve essere lispchitziana rispetto a y uniformemente rispetto alla variabile x" quest'ultima proposizione non mi è chiara e non sò come muoverti se ad esempio mi si dovesse porre una domanda come questa (è un testo di un esercitazione che ho trovato oggi)
dopo aver enunciato il teorema di peano applicarlo al seguente problema
y'=3(y/x)-6(x^3)(e^(x^2))y^(2/3) con y(1)=0
Ok, allora provo a spiegarti.
Innanzitutto, utilizza i compilatori per scrivere le formule, altrimenti mi complichi la vita
Secondo, la tua equazione è \(y' = f(x,y)\) con
\[
f(x,y) = 3 \frac y x - 6 x^3 e^{x^2}y^\frac 2 3.
\]
Ora, dire che \(f\) è Lipschitziana rispetto ad \(y\) vuol dire quello che hai detto tu prima, e cioè che
\[
f(x,y + \Delta y) - f(x, y) \le L \Delta y;
\]
dire che lo è uniformemente rispetto a \(x\) significa dire che la disuguaglianza qui sopra è vera per ogni valore di \(x\).
Innanzitutto, utilizza i compilatori per scrivere le formule, altrimenti mi complichi la vita
Secondo, la tua equazione è \(y' = f(x,y)\) con
\[
f(x,y) = 3 \frac y x - 6 x^3 e^{x^2}y^\frac 2 3.
\]
Ora, dire che \(f\) è Lipschitziana rispetto ad \(y\) vuol dire quello che hai detto tu prima, e cioè che
\[
f(x,y + \Delta y) - f(x, y) \le L \Delta y;
\]
dire che lo è uniformemente rispetto a \(x\) significa dire che la disuguaglianza qui sopra è vera per ogni valore di \(x\).
Perfetto ma La costante \(\displaystyle L \) e \(\displaystyle \Delta y \) posso determinarle in qualche modo? come le posso calcolare?
\(\Delta y\) non lo devi determinare, perché la condizione dev'essere verificata per ogni \(\Delta y\) [sensato].
La \(L\) non è facile da calcolare con precisione, ma è facile da sovrastimare!
Innanzitutto, se la tua funzione è limitata in \(y\) puoi concludere direttamente; in secondo luogo, puoi dimostrare facilmente che in un intervallo \([y_0,y_1]\) il rapporto incrementale è controllato dall'alto [i.e. maggiorato] dal massimo della derivata parziale rispetto ad \(y\).
Con qualche altro ragionamento puoi trovare altri criteri.
La \(L\) non è facile da calcolare con precisione, ma è facile da sovrastimare!
Innanzitutto, se la tua funzione è limitata in \(y\) puoi concludere direttamente; in secondo luogo, puoi dimostrare facilmente che in un intervallo \([y_0,y_1]\) il rapporto incrementale è controllato dall'alto [i.e. maggiorato] dal massimo della derivata parziale rispetto ad \(y\).
Con qualche altro ragionamento puoi trovare altri criteri.
Perfetto ci provo grazie mille per l'aiuto! 
Il teorema di Peano è un teorema di esistenza (a differenza di quello di Cauchy-Picard che è di esistenza e unicità), e richiede solo la continuità della funzione \(f\) a secondo membro.
Nel tuo caso puoi considerare \(f\) definita in \((0,+\infty)\times \mathbb{R}\) (dal momento che \(x_0=1\)); su tale semipiano la funzione non è localmente Lipschitziana in \(y\), per cui non si può applicare il teorema di Cauchy-Picard. Tuttavia \(f\) è continua, per cui l'esistenza di soluzioni è garantita dal teorema di Peano. Volendo si può mostrare che il problema di Cauchy proposto ha infinite soluzioni.
Nel tuo caso puoi considerare \(f\) definita in \((0,+\infty)\times \mathbb{R}\) (dal momento che \(x_0=1\)); su tale semipiano la funzione non è localmente Lipschitziana in \(y\), per cui non si può applicare il teorema di Cauchy-Picard. Tuttavia \(f\) è continua, per cui l'esistenza di soluzioni è garantita dal teorema di Peano. Volendo si può mostrare che il problema di Cauchy proposto ha infinite soluzioni.
ok grazie mille a tutti e due per i chiarimenti mi sono stati molto utili!
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